Идз №7:

“ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ”

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные.

Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (для краткости слово «обыкновенные» иногда будем опускать), поэтому еще раз сформулируем определение таких уравнений.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные:

.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка вида

(1)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения п-го порядка называется всякая функция , определенная для значенийх на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до n-го порядка включительно и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество относительно x.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение

,

которое содержит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок этого уравнения.

В результате решения дифференциального уравнения нередко приходят к зависимости, в которой у явно не выражается через х, т. е. получают выражение

. (2)

Равенство вида (2), неявно выражающее общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом этого дифференциального уравнения.

Во многих случаях требуется находить решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям. Например, задача Коши состоит в отыскании решения дифференциального уравнения (1), определенного в некоторой окрестности точки и удовлетворяющего начальным условиям

где - заданные числа.

При определенных условиях на правую часть уравнения (1) данная задача (задача Коши) имеет единственное решение. Это следует из так называемых теорем существования и единственности.

Кроме задачи Коши для дифференциального уравнения (1) решаются также краевые задачи. Например, для дифференциального уравнения второго порядка отыскивают решение на отрезкетакое, что выполняются граничные (краевые) условия.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производные и в общем виде записывается следующим образом:

,

где x – независимая переменная, – искомая функция,– ее производная.

Разрешая это уравнение (если возможно) относительно , получим

. (3)

Полученное уравнение является частным случаем более общего дифференциального уравнения первого порядка

.

Такую запись дифференциального уравнения иногда называют дифференциальной формой записи уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную:

.

Всякое решение уравнения (3), получающееся из общего решенияпри конкретном значении, называетсячастным решением. Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно y, т.е. , то оно называетсяобщим интегралом уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Для уравнений первого порядка (3) не существует единого метода решения для любой правой части, поэтому рассмотрим некоторые виды уравнений первого порядка и приемы, применяемые для их решения.