Образец выполнения задания

Вычисление значения определителя квадратной матрицы является важной задачей линейной алгебры. Так, численное решение системы уравнений имеет смысл лишь в том случае, когда матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этой системы, невырожденна, т. е. когда ее определитель отличен от нуля. Однако и в том случае, когда определитель системы отличен от нуля, но очень мал по абсолютной величине, к полученным в ходе решения значениям корней нужно относиться с осторожностью, поскольку они могут значительно отличаться от истинного значения неизвестных.

Определитель (детерминант) порядка n, задаваемый выражением

.

Предполагая, что , будем иметь:

Отсюда, вычитая из элементов , принадлежащихj-столбцу (), соответствующие элементы первого столбца, умноженные на, получим:

, где

К определителю применяем тот же прием. Если все элементы, то окончательно находим:

Если в каком-нибудь промежуточном определители левый верхний элемент, то следует переставить строки или столбцы определителятак, чтобы нужный нам элемент был отличен от нуля (это возможно всегда, если определитель). Конечно, при этом следует учесть изменение знака определителя. Можно дать общее правило. Пусть определительпреобразован так, что(– главный элемент). Тогда, гдеесть определитель-го порядка, получающийся изпутем выбрасывания-ой строки и-ого столбца с последующим преобразованием элементов по формуле

т.е. каждый элемент определителяравен соответствующему элементуопределителя, уменьшенному на произведение его “проекций”на отброшенные столбец и строку исходного определителя.

Вычислить

Принимая за главный элемент будем иметь:

Далее, принимая за главный элемент и применяя аналогичное преобразование получим

Число умножений и делений, нужных для вычисления определителя -го порядка, равно

Задание 4.(сам.) Найти обратную матрицу методом разбиения ее в произведение двух треугольных матриц.

Тема: Методы решения систем линейных уравнений

Задание 1. 1. Решить систему по формулам Крамера.

2. Решить систему с помощью обратной матрицы

3. Выполнить действия над матрицами.

4. Решить уравнение.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Образец выполнения задания.

1. 

Ответ:

Ответ:

4. Имеем , откуда. Находим обратную матрицу любым методом.

Задание 2. Используя схему Гаусса, решить систему уравнений с точностью до 0,001

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Образец выполнения задания.

Вычисления производим по схеме единственного деления:

Коэффициенты при неизвестных					Свободные члены		Контр. суммы ∑		Строчные суммы ∑
х1	х2	х3	х4
0,68 0,21 -0,11 -0,08	0,05 -0,13 -0,84 0,15	-0,11 0,27 0,28 -0,5	0,08 -0,8 0,06 -0,12	2,15 0,44 -0,83 1,116		2,85 -0,01 -1,44 0,61		2,85 -0,01 -1,44 0,61
1	0,0735	0,1618	0,1176	3,1618		4,1612		4,1912
2,8264	-0,1454 -0,8319 0,1559	0,30398 0,2622 -0,5129	-0,8247 0,0729 -0,1106	-0,22398 -0,4822 1,4129		-0,89015 -0,97897 0,9453		-0,8901 -0,97896 0,9453
	1	-2,0906	5,6791	1,5404		6,1221		6,1217
	-0,3337	-1,47697 -0,18697	4,79139 -0,9948	0,7992 1,1723		4,1140 -0,00913		4,1136 -0,095
		1	-3,2441	-0,5411		-2,7854		-2,7851
		-2,7110	-1,6013	1,0711		-0,5299		-0,5302
			1	-0,6689		0,3309		0,3311
			-0,6689
3,8263	0,6664	-1,7119	0,3309

Ответ:

Задание 2. Вычислить определитель по схеме Гаусса с точностью до 0,0001.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.