Литература

1.Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики. Механика: Учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений. - М.: Академия, 2001. - 384с.

2. Гершензон Е.М., Мансурова А.Н. Лабораторный практикум по общей и экспериментальной физике. – М.: Академия, 2004. – 461с.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Учеб. пособие. – М.: изд-во Астрель, 2005.- 336с.

4. Стрелков С.П. Механика. - М.: Лань, 2005.- 560с.

Лабораторная работа №10

Определение ускорения свободного падения методом оборотного маятника

Цель работы: экспериментальное определение ускорения свободного падения при помощи физического оборотного и нитяного маятников.

Принадлежности: маятник универсальный ФПМ-А-01.

Теория метода

Колебания физического маятника, происходящие с малой амплитудой (при пренебрежении трением), в поле силы тяжести имеют период, который определяется равенством

, (1)

где I– момент инерции физического маятника;а – расстояние между осью качения и центром масс маятника.

Из равенства (1) следует, что зная период колебания маятника Т, его массуm, расстояниеаи момент инерцииI, можно вычислить значение ускорения свободного паденияg.

Однако для тел сложной формы вычисление величины Iили ее измерение весьма сложная операция.

Если ввести понятие приведенной длины маятника l’, то есть длины такого математического маятника, который колеблется с периодом, равным периоду данного физического маятника, то формула (1) примет вид

. (2)

Здесь l’ определяется из формулы

(3)

или

, (3а)

где I_о- момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через его центр масс.

После подстановки (3а) в (2) получается квадратное уравнение относительно а:

. (4)

Из (4) следует, что для одного и того же физического маятника найдутся два таких центра качания, которым соответствует один и тот же период колебаний маятника.

Пусть одному и тому же периоду колебаний соответствует два расстояния а₁ и а₂. Тогда приравнивая правые части формулы (2) для периода, соответствующегоа₁ и а_2,получим

или

откуда .

Подставляя значение отношения в формулу для периода колебаний получим

. (5)

Из (5) следует, что . Следовательно, если мы найдем в маятнике две оси, относительно которых маятник будет качаться с одним и тем же периодом, то приведенная длина маятника будет равна сумме расстояний от этих осей качения до центра масс.

Для измерения ускорения силы тяжести g пользуются физическим маятником особой конструкции, который носит название оборотного маятника. Он состоит из металлического стержня, по которому могут передвигаться и закрепляться в том или ином положении дополнительные грузы (чечевицы) и опорные призмы. Различные комбинации чечевиц и их положений на стержне относительно опорных призм дают различные типы оборотных маятников. В настоящей лабораторной работе применяется оборотный маятник, изображенный на рис.1.

На металлическом стержне опорные призмы В₁ иВ₂закрепляются и не перемещаются. Жестко закрепляется и грузС, находящийся между ними. Второй грузДнаходится на конце стержня (не между призмами) и может перемещаться по стержню и закрепляется в нужном положении. Расстояние между призмамипостоянно.

Добиться путем последовательного перемещения призм полного совпадения периодов колебаний относительно обеих осей чрезвычайно трудно. Поэтому в данном случаеgопределяется по методу Бесселя, который не предполагает строгого равенства периодов.

Рассмотрим суть данного метода. Если расстояние между лезвиями призм В₁иВ₂равны, то истинный период физического маятника, имеющего приведенную длинуl’ будет равен. В действительности же мы при наблюдении колебаний около обеих осей получим несколько различные периоды колебанийT₁ иT₂, которым будут соответствовать некоторые приведенные длиныl’₁ иl’₂, отличающиеся отl’. Объединим выражения для трех значений периодов в систему.

,

, (6)

.

Возведя в квадрат каждое из равенств и разделив первое равенство на каждое из последующих, получим

,

(7)

.

Если учесть, что , а, то система (7) примет вид

,

(8)

.

Исключая из (8) , получим

. (9)

Или (9) можно записать в виде:

. (9а)

Учитывая выражение для периода (9) и то, что , получим

. (10)

Это выражение называется формулой Бесселя. Она позволяет достаточно просто и с необходимой степенью точности найти величину ускорения свободного падения при приближенном равенстве периодов колебаний оборотного маятника, соответствующих расстояниям a₁ иa₂.

Рассмотрим график зависимости Т от а. Данный график представлен на рисунке 2. При и припериод стремится к бесконечности (). Период минимален при .При одно и тоже значениеТ достигается при двух разных значениях а, одно из которых больше, а другое меньше а_min. Как ясно из графика, при измерении Т величины а₁ и а₂ либо сближаются, либо удаляются друг от друга.

Погрешность определения Т зависит от разности а₁ - а₂. Действительно, дифференцируя выражение для Т, например, по Т₁ и полагая Т₂ неизменным, найдем погрешность Т:

. (11)

Здесь мы считаем, что расстояния а₁ и а₂ нам точно известны. Когда а₁ и а₂ близки друг к другу, знаменатель формулы близок к нулю, но ни а₁, ни Т₁ при этом к нулю не стремятся. Тот же вывод справедлив для пересчета погрешности при измененииТ₂ и неизменном Т₁. Поэтому расположение опорных призм относительно центра масс, задаваемого положением грузов, следует выбирать так, чтобы а₁ и а₂ различались, по крайней мере, в 1,5 раза.

Заметим, наконец, что отношение а₁/а₂ не должно быть и слишком большим. При больших а₁/а₂ величина а₂ неизбежно оказывается малой и период колебаний резко возрастает. При этом увеличивается время измерений и растет роль сил трения.

Таким образом, мы приходим к выводу, что отношение а₁/а₂ не должно быть ни слишком малым, ни слишком большим; желательно, чтобы 1,5< а₁/а₂<3.

Ускорение свободного падения также можно определить с использованием нитяного маятника с длиной нити , который является хорошим приближением математического маятника (если длина нитинамного больше диаметрашарика, а масса шарика во много раз больше массы нити).

. (12)

Описание экспериментальной установки представлено в лабораторной работе №8.