Тема: 15. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

 

1.                    Теорема сложения вероятностей  совместных событий.

2.                    Теорема умножения вероятностей  независимых событий.

3.                    Условная вероятность события. Теорема  умножения вероятностей  зависимых  событий.

4.                    Теорема  сложения  вероятностей  совместных  событий.

5.                    Формула полной вероятности, формула Бейеса.

6.                    Повторение испытаний.

 

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если события А и В – совместные, то их сумма А+В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе.  Если А и В – несовместные события, то их сумма А+В означает наступление или события А, или события В.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема:  Вероятность появления одного из двух несовместных   событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей  этих событий

Р (А+В) = Р (А)+ Р(В).

Следствие: Сумма вероятностей несовместных событий А₁,...,А_n, образующих  полную  группу,  равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂)+... +Р (А_n) = 1

 

2. Теорема умножения вероятностей независимых

событий.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, появилось или не появилось  другое событие.

Несколько событий называются взаимно независимыми (или независимыми  в  совокупности), если каждое из них и любая комбинация, составленная из остальных (части или всех) событий, являются независимыми событиями.

Если события А₁ ,А ₂,...,А_n взаимно независимы, то и противоположные их события   также взаимно независимы.

Теорема: Вероятность произведения нескольких взаимно независимых событий  равна  произведению вероятностей этих событий.

Р(А₁А₂,...А_n) = Р(А₁ ) Р(А₂) ... Р(А_n)

Для двух событий Р(АВ) = Р(А)  Р(В)

Задача. Два товароведа работают независимо друг от друга. Вероятность пропустить бракованное изделие первым товароведом 0,1; вторым 0,2. Какова  вероятность  то­го, что при просмотре изделия оба товароведа не пропустят брак.

Решение: событие А - брак  пропустил I товаровед, событие В - брак пропустил II товаровед.

,  где событие А – брак не пропустит  I товаровед,

событие В - брак не пропустит II товаровед.

Так как оба работают независимо друг от друга, то А и В независимые события.  

 

3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Событие В называют зависимым от события А, если появление события А изменяет вероятность появления события В.

Вероятность события В, найденная  при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается  Р_А (В).

Теорема: Вероятность совместного появления  двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на ус­ловную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже  наступило, т.е.

Р(АВ) = Р(А)  Р_А (В)    или  Р(АВ) = Р(В)  Р_В(А)

Теорема умножения вероятностей может быть распространена  на любое число m зависимых событий А₁А₂ ...А_m.

Р(А₁А₂..А_m)=Р(А₁)  

причем вероятность  последующего  события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.

Задача. В коробке 2 белых и 3 синих ручки. Из коробки вынимают  подряд  две  ручки. Найти  вероятность того, что обе ручки  белые.

Решение: событие А - обе ручки белые, событие В - появление первой белой  ручки, событие С - появление второй белой ручки.

Тогда А= В С.

Так как  первая ручка не возвращается в коробку, т.е. состав коробки изменился, то события  В и С зависимые.

Р (В) = 2/5;  Вероятность события С находим в предположении,  что В уже  произошло, т.е. Р_B(С) = ¼.

Искомая вероятность