3-Б курс, 6-ти летки Калинина Т.В 2 / МУ для выполнения КР ЭиЭ

10

			Таблица 2.2
	Пример эскизной	Пример схемы замещения	Математическое описание эквивалентного преобразования
	схемы

Последовательным соединением называется соединение, при котором элементы электрической цепи соединены один за другим без разветвлений и по всем им проходит один и тот же ток.

Параллельным соединением называется соединение, при котором к одним и тем же двум узлам электрической цепи присоединены несколько резисторов и все они находятся под действием одного и того же напряжения.

0

Помимо вышерассмотренных видов соединения приемников в электрических цепях, применяются такие соединения приемников как «звезда» и «тре-

угольник» (рис. 2.5).

	1
R31	R1	R12

R3 R2

3 2

R23

Рис. 2.5

Расчет некоторых сложных электрических цепей упрощается, если соединение звездой в них заменить соединением треугольником или наоборот. Такое преобразование должно производиться так, чтобы при неизменном напряжении между точками 1, 2 и 3 токи I1, I2 и I3 звезды и треугольника оставались без изменений. Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, называются эквивалентными.

Для такого преобразования рекомендуется изобразить схему цепи без заменяемого треугольника (или звезды), но с обозначенными узлами или вершинами 1, 2 и 3, и к этим обозначенным вершинам или узлам подсоединить треугольник (или звезду).

При замене треугольника эквивалентными сопротивлениями соблюдаются соотношения, приведенные в табл. 2.3.

	Таблица 2.3
Преобразование звезды в треугольник	Преобразование треугольника в звезду

R12

R1

R2

R1

R2

R1

R12

R31

R3

R12

R23

R31

R23

R2

R3

R2

R3

R2

R12

R23

R1

R12

R23

R31

R31

R1

R3

R1

R3

R3

R23

R31

R2

R12

R23

R31

Если R

R

R

R ,

Если R12

R23

R31

R , то

1

2

3

то R12

R23

R31

3RY

R1

R2

R3

1

R

3

11

2.2. Метод законов Кирхгофа (метод узловых и контурных уравнений)

Классическим приемом расчета сложных электрических цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы, как правило, основаны на этих фундаментальных законах электротехники.

С помощью законов Кирхгофа можно рассчитать токи в сколь угодно сложных цепях. Для этого необходимо проделать следующее:

1.Задаться предполагаемыми направлениями токов во всех ветвях и направлениями обходов в контурах (например, по часовой стрелке).

2.По первому закону составить п–1 уравнений, где п – количество узлов в цепи. Составлять уравнения можно для любых узлов, лишь бы количество уравнений было на единицу меньше, чем количество узлов.

3.Определить количество элементарных контуров в цепи. Составить по второму закону Кирхгофа т уравнений, где т – число элементарных контуров. При составлении уравнений следует иметь в виду, что составлять уравнения можно по любым контурам и совсем не обязательно по элементарным. Важно, чтобы количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, равнялось бы количеству элементарных контуров.

4.В получавшуюся систему уравнений подставить числовые значения и любым методом рассчитать неизвестные, т. е. в данном случае токи в ветвях. Напомним, что действительные направления всех токов, имеющих положительное значение, совпадают с предполагаемыми, а имеющих отрицательные значения – противоположные.

5.Нанести на схему действительные токи желательно с указанием их ве-

личин.

6.Произвести проверку правильности нахождения токов. Для этого следует проверить выполнение первого закона Кирхгофа в узлах, второго закона – в контурах и балансы мощности – во всей цепи.

При расчете сложных цепей приходится проделывать большую вычислительную работу. Правильность окончательного расчета осуществляют с помощью составления баланса мощностей.

Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что мощность, отдаваемая источниками питания, должна равняться мощности, потребляемой сопротивлениями ветвей или приемниками электроэнергии. Таким образом, алгебраическая сумма мощностей источников питания равна арифметической сумме мощностей приемников:

где m – число источников энергии, n – число сопротивлений в цепи.

Если направления ЭДС и тока в ветви совпадают по результатам окончательного расчета, то источник отдает мощность в сеть и в уравнении баланса мощностей перед произведением EkIk ставится знак «плюс». Если ЭДС и ток в ветви направлены встречно, источник потребляет мощность (например, акку-

12

муляторная батарея при зарядке) и произведение EkIk входит в левую часть уравнения со знаком «минус».

В правой части уравнения произведения Ik2Rk всегда положительны. Если все проверки сходятся, то задача решена правильно.

2.3. Метод контурных токов

Метод контурных токов (МКТ) применяют для расчета сложных электрических цепей с большим числом контуров, так как он позволяет исключить уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа. Метод контурных токов дает возможность определить токи в цепи с помощью стольких уравнений, сколько элементарных контуров содержит цепь.

Расчетное число уравнений по МКТ определяется числом взаимно независимых контуров цепи и составляет

NМКТ m (n 1)

где т – число элементарных контуров, п – количество узлов в цепи.

Сущность метода. В методе контурных токов реализуется принцип использования промежуточных переменных, число которых меньше, чем число искомых переменных. Осуществляется переход от реальных токов рассчитываемой цепи (их число равно m) к контурным токам, а их число существенно меньше и соответствует числу составляемых уравнений по методу контурных токов.

Контурный ток – это условный расчетный ток, имеющий одинаковое значение на всех участках заданного контура. В электрической цепи, содержащей источник тока, последние преобразуют для расчета в источник ЭДС или учитывают как дополнительный контурный ток, не имеющий замкнутого контура. Для контура с источником тока уравнения не составляются.

Направления контурных токов выбирают произвольно и показывают в электрических схемах дугообразными стрелками. Величины контурных токов в отличие от реальных токов обозначают римскими или буквенными индексами

II, III, IIII, или IA, IB, IC и т. Д. Можно обозначить как Iк1, Iк2, Iк3.

Расчет сложной электрической цепи методом контурных токов выполняется в следующем порядке.

1.Произвольно выбираются направления контурных токов, их обозначают

идля удобства считают такое же направление обхода по контурам.

2.Составляют уравнения второго закона Кирхгофа с контурными токами по числу взаимно независимых контуров цепи и совместно решают их.

Правило составления контурных уравнений: алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна произведению контурного тока данного контура на сумму всех сопротивлений контура, «плюс» или «минус» произведения контурных токов соседних контуров на соответствующие сопротивления смежных ветвей («плюс» берется, если контурный ток соседнего контура сонаправлен с контурным током данного контура; «минус» берется, если контурный ток соседнего контура направлен встречно контурному току данного контура).

13

3. Для определения величины и направления реальных токов применяют правила:

а) если на участке цепи действует только один контурный ток, то реальный ток равен контурному и имеет такое же направление;

б) если на участке цепи действуют два контурных тока противоположных направлений, то реальный ток равен их разности и направлен в сторону большего тока;

в) если в ветви действуют контурные токи одинакового направления, то реальный ток равен их сумме и совпадает по направлению с ними.

4.Производят проверку правильности нахождения токов путем составления баланса мощности во всей цепи.

2.4. Метод узловых напряжений

Данный метод используется для расчета сложных линейных электрических цепей, если цепь содержит только два узла. Напряжение между этими узлами называют узловым.

Узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей.

Порядок расчета электрической цепи данным методом следующий.

1. Определяем узловое напряжение по вышеприведенной формуле. Для этого предварительное направление токов во всех ветвях обычно выбирают одинаковым, от одного узла к другому. Тогда значение ЭДС источника, работающего в режиме генератора, при подстановке в формулу узлового напряжения берут со знаком «плюс», а источника, работающего в режиме потребителя – со знаком «минус». Узловое напряжение может получиться как положительным, так и отрицательным.

2. Используя значение узлового напряжения, рассчитываем токи в ветвях схемы. Знак «минус» в вычисленном значении действительного тока указывает, что условно выбранное направление тока данной ветви неправильно.

2.5. Метод наложения

Данный метод применяют для расчета сложных электрических цепей постоянного тока, содержащих только линейные элементы. При применения этого метода вначале предполагают, что в электрической цепи действует только одна ЭДС, и определяют токи, созданные ею. Эти токи называются частичными. При расчете частичных токов должны учитываться внутренние сопротивления источников, исключенных в этом случае из схемы.

После этого оставляют в электрической цепи какую-либо другую ЭДС и исключают все остальные. При этом опять определяют частичные токи. Таким способом находят поочередно частичные токи, созданные каждой ЭДС отдельно.

14

Затем производят наложение частичных токов, при котором определяют величину и направление действительных токов на основании того, что действительных ток в любом участке электрической цепи равен алгебраической сумме частичных токов.

2.6. Пример решения задачи №1

Задание.

Для электрической схемы, изображенной на рис. 2.6, в соответствии с исходными данными (табл. 2.4):

1)составить систему уравнений методом законов Кирхгофа;

2)определить токи во всех ветвях исходной схемы методом контурных то-

ков;

3)упростить схему, произведя соответствующие эквивалентные преобразования, и определить токи в ветвях упрощенной схемы методом наложения;

4)составить баланс мощностей;

5)определить показание вольтметра.

Е2, r02

R5

R2

V

R6

R3

E1

R1

R4

Рис. 2.6

Таблица 2.4

Е1,

Е2,

r01,

r02,

R1,

R2,

R3,

R4,

R5,

R6,

В

В

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

10

12

0,1

1

2

3

4

5

6

Решение.

Пояснения, приведенные мелким шрифтом, при оформлении задачи приводить не следует.

1. Обозначаем узлы и контуры заданной электрической цепи. Задаем предположительное направление токов в ветвях схемы. Принимаем направления обходов контура (рис. 2.7).

Заданная электрическая цепь содержит 4 узла (обозначим их, например, a, b, c, d) и 3 элементарных контура (abca, adca, bcdb). Узловые точки подключения электроизмерительного прибора вольтметра при составлении уравнений для расчета цепи не учитываются, т.к. они показывают место подключения прибора, который может быть подключен в любые две точки цепи.

15

В ветвях, содержащих источники ЭДС, токи целесообразно направить в сторону действия ЭДС источника в режиме генератора (т.е. направление тока должно совпадать с направлением стрелки внутри условного обозначения источника ЭДС). В ветвях, не содержащих источники ЭДС, ток можно направить в любую сторону. Токи нумеруются арабскими цифрами, например, I1, I2 и т.д. Всего данная цепь содержит 6 ветвей, следовательно, необходимо рассчитать 6 токов.

Направления обхода контуров целесообразно показать внутри элементарных контуров по часовой стрелке или против. Обход контура следует сразу обозначить как контурный ток, например, IК1, IК2, IК3.

	I2	Е2, r02	b
				R5	I5	I6
R2	V		IК1		IК3
					c
a		E1			R6
	I1			R1
R3			IК2
	I3		d
				R4	I4

Рис. 2.7

2. Составляем уравнения методом узловых и контурных уравнений (методом законов Кирхгофа) для заданной электрической цепи.

Схема содержит 4 узла, следовательно, необходимо и достаточно составить 3 уравнения (на одно меньше, чем узлов в схеме) по первому закону Кирхгофа, например, для узлов a, b, d. При составлении уравнений необходимо помнить, что от узла до узла в ветви протекает один и тот же ток. Токи, втекающие в узел, берутся со знаком «плюс», токи, вытекающие из узла, берутся со знаком «минус».

Цепь содержит 3 элементарных контура, следовательно, необходимо составить 3 уравнения по второму закону Кирхгофа. В контуре abca действует 2 источника ЭДС, следовательно, в левой части уравнения должны присутствовать два значения ЭДС. В контуре adca действует 1 источник ЭДС, таким образом, в уравнении для этого контура в левой части будет присутствовать значение одной ЭДС. В контуре bcdb источники ЭДС отсутствуют, поэтому в левой части уравнения будет «ноль». Значения ЭДС и токов, направление которых совпадает с обходом контура, берутся со знаком «плюс»; значения ЭДС и токов, направление которых не совпадает с обходом контура, берутся со знаком «минус». Если ветвь контура, содержит источник ЭДС с заданным внутренним сопротивлением r0, то его величину необходимо учесть при записи падения напряжения на этом участке в правой части уравнения и прибавить его к величине сопротивления ветви, т.к. они соединены последовательно.

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

 уравнения по I закону Кирхгофа:

для узла а: ;

16

для узла b:	;
для узла d:	.
 уравнения по II закону Кирхгофа:
для контура аbca:	;
для узла adca:	;
для узла bcdb:	.

3. Составляем уравнения методом контурных токов и определяем значения токов во всех ветвях схемы.

При составлении уравнений руководствуемся следующими правилами. Левая часть уравнений для каждого контура уже прописана в предыдущем пункте при составлении уравнений по II закону Кирхгофа. Правая часть уравнений записывается следующим образом. Контурный ток, являющийся основным в рассматриваемом для записи уравнения контуре, всегда берется со знаком «плюс». Например, для контура abca основным контурным током является ток IК1. Основной контурный ток умножается на сумму всех сопротивлений, входящих в рассматриваемый контур. На этот ток через ветвь ac влияет контурный ток IК2. В ветви ас токи IК1 и IК2 направлены в одну сторону, следовательно, ток IК2 в уравнении берется со знаком «плюс» и умножается только на сопротивление данной ветви. В ветви cd контурные токи IК2 и IК3 также направлены в одну сторону, поэтому и ток IК3 в уравнении для этого контура берется положительным. Если же рассматривать контур adca, то в ветви dc основной для этого контура ток IК2 и ток IК3 направлены встречно, таким образом, в уравнении для данного контура ток IК3 необходимо принять со знаком «минус».

Получаем следующую систему уравнений:

для контура аbca: ;

для узла adca: ;

для узла bcdb: .

Подставляем в уравнения исходные данные из условия задачи и получаем систему уравнений с тремя неизвестными:

;

;

.

;

;

.

Решаем данную систему уравнений методом Крамера. Составляем определитель ∆ из коэффициентов в уравнениях при неизвестных контурных токах и рассчитываем его значение:

17

Составляем определители для соответствующих контурных токов и рассчитываем их значения:

Определяем контурные токи:

Правильность решения системы уравнений можно проверить, подставив полученные значения контурных токов в любое из уравнений исходной системы уравнений. Например,

Рассчитываем токи во всех ветвях цепи и наносим их действительное направление на схему (рис. 2.8).

При нахождении действительных значений токов руководствуемся следующими правилами. Значение тока, протекающего в независимой ветви, т.е. в ветви, не входящей в другие контуры, приравнивается к значению основного для этого контура контурного тока, и направляются в сторону его обхода. Если значение действитель-

ного тока получается отрицательным, то его необходимо направить в обратную сторону по отношению к исходно заданному. Например, в заданной схеме незави-

симыми являются ветви ab, ad и bd. Следовательно, токи, протекающие в этих ветвях, а именно I2, I3 и I6 приравниваются к соответствующим контурным токам:

18

Токи, протекающие в ветвях, являющихся общими для двух контуров, определяются следующим образом. Например, в ветви ас токи IК1 и IК2 направлены в одну сторону, следовательно, действительный ток I1 равен сумме этих контурных токов и направлен в сторону их действия. В ветви dc контурные токи IК2 и IК3 направлены встречно, таким образом, действительный ток I4 равен разности этих токов, причем из большего следует вычитать меньший, поэтому ток I4 будет направлен в сторону обхода большего контурного тока, а именно тока IК2.

Таким образом,

Получаем схему со следующими действительными направлениями токов

(рис. 2.8).

I2

Е2, r02

b

I5

I6

R2 V

IК1

R5

IК3

c

a

R6

I1

E1

R1

R3

IК2

I3

d

R4

I4

Рис. 2.8

4. Упрощаем исходную электрическую цепь, осуществив соответствующие эквивалентные преобразования (рис. 2.9, а).

Упростим схему, заменив соединение сопротивлений R4, R5, R6 треугольником на соединение сопротивлений звездой.

Cопротивления R4, R5, R6 соединены по схеме «треугольник». Если изобразить исходную схему в другом ракурсе, то на рис. 2.9, б явно виден треугольник, состоящий из этих сопротивлений. Схемы а и б, изображенные на рис. 2.9, абсолютно идентичны.

Е2, r02	Е2, r02	b

		R5		R5
R2	V
				R2
				E1
	E1	R6	a	c	R6
		R1		R1
R3				R3
				R4
		R4			d

а

б

Рис. 2.9

19