3-Б курс, 6-ти летки Калинина Т.В 2 / МУ для выполнения КР ЭиЭ

10. Составляем баланс мощностей:

Баланс мощностей сходится, следовательно, задача решена верно.

11. Построим векторные диаграммы токов и напряжений в цепи с использованием показательных форм всех токов и напряжений, найденных в ходе решения задачи (рис. 3.7).

Принимаем масштаб для токов mI: 1 см = 3 А. Принимаем масштаб для напряжений mU: 1 см = 20 В.

Этапы построения векторной диаграммы.

1.Откладываем на векторной плоскости в масштабе вектора токов и . Под углом 76° от оси абсцисс откладываем вектор тока в масштабе (3,63 см). Под углом

46° от оси абсцисс откладываем вектор тока (7 см).

2.Строим вектор тока методом переноса как сумму векторов токов и . По

результатам построения вектора	видно, что его значение совпадает с найденным
расчетным путем (	(рис. 3.7).

3. Откладываем в масштабе вектор напряжения под углом 76° (рис. 3.8).

40

4. Откладываем вектор напряжения			под углом 76°. Его направление совпа-
дает с направлением вектора тока		. От конца вектора		под углом 90° с отставани-
ем от вектора тока	откладываем вектор напряжения			. В
результате сложения векторов		и	получаем вектор	. Как видно из вектор-

ной диаграммы, величина построенного вектора совпадает с величиной, полученной расчетным путем.

5. Откладываем вектор напряжения			под углом	46°. Его направление совпа-
дает с направлением вектора тока		. От конца вектора UR3 под углом 90° с опереже-
нием вектора тока откладываем вектор напряжения				(	В ре-
зультате сложения векторов	и	получаем вектор		. Как видно из векторной

диаграммы, величина построенного вектора совпадает с величиной, полученной расчетным путем

6. Строим вектор напряжения, приложенного к сети , как сумму векторов ,

. Как видно из векторной диаграммы, величина построенного вектора совпадает с заданной величиной:

Рис. 3.7

Рис. 3.8

41

3.3. Задача № 2

Тема: «Расчет линейной электрической цепи однофазного синусоидального тока»

В соответствии с исходными данными (табл. 3.4) выполнить расчет линейной электрической цепи однофазного синусоидального тока со смешанным соединением активных и реактивных элементов символическим методом, а именно:

1)составить схему замещения электрической цепи;

2)рассчитать напряжения на всех участках цепи и на отдельных элементах, токи во всех ветвях схемы;

3)проверить правильность определения токов, используя первый закон Кирхгофа;

4)определить показание ваттметра;

5)составить баланс активных и реактивных мощностей;

6)построить в масштабе векторную диаграмму токов и напряжений в цепи;

Z1

1

2

W

U

13

Z2

Z3

3

3

Рис. 3.8. Расчетная схема

42

Таблица 3.4

За-	U13,	Ψu,	f,	R1,	L1,	С1,	R2,	L2,	С2,	R3,	L3,	С3,
да-	B	град	Гц	Ом	мГн	мкФ	Ом	мГн	мкФ	Ом	мГн	мкФ
ние		.
31	52	0	50	10	−	−	12	22	−	14	−	300
32	55	5	50	−	20	−	8	−	200	6	10	−
33	57	5	50	−	−	150	2	10	−	4	−	100
34	59	10	50	10	30	−	6	−	−	8	−	120
35	61	10	50	8	−	250	−	20	−	10	16	−
36	64	15	50	6	18	−	−	−	300	12	−	340
37	65	15	50	4	−	360	7	26	−	12	−	−
38	66	20	50	12	18	−	11	−	320	−	14	−
39	71	20	50	6	−	400	13	28	−	−	−	380
40	72	25	50	−	−	220	3	−	340	5	24	−
41	74	25	50	−	30	−	9	34	−	14	−	440
42	76	30	50	16	−	−	13	−	360	15	32	−
43	78	30	50	18	36	−	−	−	380	24	−
44	80	35	50	20	−	520	−	40	−	26	42	−
45	82	35	50	22	40	−	15	−	−	28	−	540
46	84	40	50	8	10	−	2	−	580	−	−	460
47	86	40	50	10	−	540	4		−	−	480	−
48	88	45	50	12	12	−	6	−	560	500	−	−
49	91	45	50	10	−	−	12	22	−	14	−	300
50	92	50	50	−	20	−	8	−	200	6	10	−
51	94	50	50	−	−	150	2	10	−	4	−	100
52	96	55	50	11	33	−	7	−	−	9	−	120
53	98	55	50	9	−	250	−	21	−	11	17	−
54	100	60	50	7	19	−	−	−	305	13	−	350
55	102	60	50	5	−	600	8	26	−	12	−	−
56	104	65	50	13	21	−	12	−	325	−	15	−
57	106	65	50	15	−	620	14	28	−	−	−	390
58	108	70	50	−	−	640	4	−	345	6	26	−
59	111	70	50	−	31	−	10	34	−	15	−	450
60	113	80	50	17	−	−	14	−	370	17	33	−

43

4. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

4.1. Краткие теоретические сведения

Наиболее широкое применение в технике получили многофазные системы переменного тока. Каждую из частей многофазной системы, характеризующуюся одинаковым током, принято называть фазой. Таким образом, понятие «фаза» имеет в электротехнике два значения: первое – аргумент синусоидально изменяющейся величины, второе – часть многофазной системы электрических цепей. Цепи в зависимости от количества фаз называют двухфазными, трехфазными, шестифазными и т.п. Наибольшее распространение получили трехфазные системы.

Трехфазная цепь состоит из трех основных элементов: трехфазного генератора, в котором механическая энергия преобразуется в электрическую с трехфазной системой ЭДС; линий передачи со всем необходимым оборудованием; приемников (потребителей) электроэнергии, которые могут быть как трехфазными (например, трехфазные асинхронные двигатели), так и однофазными (например, лампы накаливания).

Трехфазной называется система трех ЭДС одинаковой частоты, сдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма углов сдвига равна 2π или 360°.

Трехфазная симметричная система ЭДС – это совокупность электриче-

ских цепей, в которых действуют три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые по фазе относительно одна другой на угол 120° или 2π/3, создаваемые общим источником энергии.

Наоборот, если амплитуды ЭДС не равны друг другу или углы сдвига фаз не равны 120° или 2π/3, то система ЭДС называется несимметричной.

В дальнейшем мы будем рассматривать только симметричную систему ЭДС трехфазного переменного тока.

Источником трехфазного переменного тока является трехфазный генератор. Модель трехфазного генератора схематически изображена на рис. 6.1.

Рис. 6.1

На статоре 1 генератора размещается обмотка 2, состоящая из трех частей или, как их принято называть, фаз. Обмотки фаз располагаются на статоре таким образом, чтобы их магнитные оси были сдвинуты в пространстве относительно друг друга на угол 2π / 3, т.е. на 120°. На рис. 6.1 каждая фаза обмотки статора условно показана состоящей из одного витка. Начала фаз обозначены

44

буквами A , B и C , а концы – X , Y , Z . Ротор 3 представляет собой электромагнит, возбуждаемый постоянным током обмотки возбуждения 4, расположенной на роторе.

При вращении ротора турбиной с равномерной скоростью в обмотках фаз статора индуктируются периодически изменяющиеся синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, но отличающиеся друг от друга по фазе на 120° вследствие их пространственного смещения.

На схеме обмотку (или фазу) источника питания изображают как показано на рис. 4.2. За условное положительное направление ЭДС в каждой фазе принимают направление от конца к началу. Обычно индуктированные в обмотках статора ЭДС имеют одинаковые амплитуды и сдвинуты по фазе относительно друг друга на один и тот же угол 120°. Такая система ЭДС называется симметричной.

Рис. 4.2

Трехфазная симметричная система ЭДС может изображаться графиками, тригонометрическими функциями, векторами и функциями комплексного переменного.

Графики мгновенных значений трехфазной симметричной системы ЭДС показаны на рис. 6.3, а. Если ЭДС одной фазы (например, фазы A ) принять за исходную и считать еѐ начальную фазу равной нулю, то выражения мгновенных значений ЭДС можно записать в виде

еА	Em sin			t ;							120 );
еB	Em sin(			t	2	/ 3 )	Em sin(			t
е	E	m	sin(	t	2	/ 3 )	E	m	sin(	t	120 )
C
Em sin( t				4	/ 3 ) Em sin( t					240 ).

На диаграмме рис. 4.3, б вектор Ė A направлен вертикально. Из векторных диаграмм рис. 4.3, б следует, что для симметричной трехфазной системы геометрическая сумма векторов ЭДС всех фаз равна нулю:

Ė A + Ė B + Ė C = 0.

45

а б Рис. 4.3. График мгновенных значений ЭДС и

их векторная диаграмма

Систему ЭДС, в которой ЭДС фазы B отстает по фазе от ЭДС фазы A , а

ЭДС фазы C – от ЭДС фазы B , называют системой прямой последователь-

ности (рис. 4.4, а). Если изменить направление вращения ротора генератора, поменяв местами подключение любых двух фаз, то последовательность фаз изменится (рис. 4.4, б) и будет называться обратной. Последовательность фаз определяет направление вращения трехфазных двигателей. В дальнейшем мы будем рассматривать системы только прямой последовательности.

Рис. 4.4

Существуют различные способы соединения фаз трехфазных источников питания и трехфазных потребителей электроэнергии. Наиболее распространенными являются соединения «звезда» и «треугольник». При этом способ соединения фаз источников и фаз потребителей в трехфазных системах могут быть различными. Фазы источника обычно соединены «звездой», фазы потребителей соединяются либо «звездой», либо «треугольником».

Соединение фаз генератора и приемника звездой

При соединение фаз обмотки генератора звездой их концы X , Y и Z соединяют в одну общую точку N , называемую нейтральной точкой (или нейтралью) (рис. 4.6). Концы фаз приемников (Z a , Z b , Z c ) также соединяют в одну точку n . Такое соединение называется «звезда».

46

Рис. 4.6

Провода A − a , B − b и C − c , соединяющие начала фаз генератора и приемника, называются линейными, провод N − n , соединяющий точку N генератора с точкой n приемника, – нейтральным.

Трехфазная цепь с нейтральным проводом будет четырехпроводной, без нейтрального провода – трехпроводной.

В трехфазных цепях различают фазные и линейные напряжения. Фазное напряжение U Ф – напряжение между началом и концом фазы или между линейным проводом и нейтралью (U A , U B , U C у источника; U a , U b , U c у приемника). Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то фазное напряжение в приемнике считают таким же, как и в источнике (ЕA=U A = U a , ЕB= U B = U b , ЕC=U C = U c ). За условно положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз.

Линейное напряжение (U Л ) – напряжение между линейными проводами или между одноименными выводами разных фаз (U A B , U B C , U C A ). Условно положительные направления линейных напряжений приняты от точек, соответствующих первому индексу, к точкам соответствующим второму индексу (см.

рис. 4.6).

По аналогии с фазными и линейными напряжениями также различают

фазные и линейные токи:

фазные (I Ф ) – это токи в фазах генератора и приемников; линейные (I Л ) – токи в линейных проводах.

При соединении обмоток генератора и потребителей звездой линейные токи обозначаются IA, IB, IС, фазные токи обозначаются Iа, Ib, Ic.

При соединении в звезду фазные и линейные токи равны

I Ф = I Л .

Ток, протекающий в нейтральном проводе, обозначают I N .

По первому закону Кирхгофа для нейтральной точки n (N ) ток в нейтральном проводе равен сумме токов в фазах, т.е. в комплексной форме:

İN = İ A + İ B + İ C .

Всоответствии с выбранными условными положительными направления-

ми фазных и линейных напряжений можно записать уравнения по второму закону Кирхгофа:

47

Согласно этим выражениям на рис. 6.7, а построена векторная диаграмма, из которой видно, что при симметричной системе фазных напряжений система линейных напряжений тоже симметрична: U A B , U B C , U C A равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на 120° (общее обозначение U Л ), и опережают, соответственно, векторы фазных напряжений U A , U B , U C , (U Ф ) на угол 30°. Векторную диаграмму удобно выполнить топографической (рис.

4.7, б).

Рис. 4.7

Действующие значения линейных напряжений можно определить графически по векторной диаграмме или по формуле, которая следует из треугольника, образованного векторами двух фазных и одного линейного напряжений:

	2U ф сos30	2U ф	3
U л					3 U ф		1,73Uф .
		2

Предусмотренные ГОСТом линейные и фазные напряжения для цепей низкого напряжения связаны между собой соотношениями:

U Л = 660 В ; U Ф = 380 В ;

U Л = 380 В ; U Ф = 220 В ;

U Л = 220 В ; U Ф = 127 В .

Классификация приемников в трехфазной цепи

Приемники, включаемые в трехфазную цепь, могут быть либо однофазными, либо трехфазными. К однофазным приемникам относятся электрические лампы накаливания и другие осветительные приборы, различные бытовые приборы, однофазные двигатели и т.д. К трехфазным приемникам относятся трехфазные асинхронные двигатели и индукционные печи.

Различают симметричные и несимметричные приемники электроэнергии. Симметричными называют приемники, у которых комплексные сопротив-

ления фаз трехфазных приемников равны между собой:

Za = Zb = Zc = Zejφ.

Пример симметричной нагрузки: трехфазный асинхронный двигатель. Несимметричными называют приемники, если

Za ≠ Zb ≠ Zc.

48

Пример несимметричной нагрузки: электрические лампы накаливания. Несимметричная нагрузка возникает в случае аварийных режимов, например, при обрыве линий, коротких замыканиях в цепи.

Четырехпроводная цепь

Для расчета трехфазной цепи применимы все методы, используемые для расчета линейных цепей. Обычно сопротивления проводов и внутреннее сопротивление генератора меньше сопротивлений приемников, поэтому для упрощения расчетов таких цепей сопротивления проводов можно не учитывать (ZЛ = 0, ZN = 0). Тогда фазные напряжения приемника Ua, Ub и Uc будут равны соответственно фазным напряжениям источника электрической энергии(генератора или вторичной обмотки трансформатора), т.е. Ua = UA; Ub = UB; Uc = UC. Тогда токи в каждой фазе можно определить по формулам

В соответствии с первым законом Кирхгофа ток в нейтральном проводе

İN = İa + İb + İc = İA + İB + İC.

Симметричная нагрузка приемника

При симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке, когда

Za = Zb = Zc, т.е. когда Ra = Rb = Rc = Rф и Xa = Xb = Xc = Xф, фазные токи равны по значению и углы сдвига фаз одинаковы

Ia = Ib = Ic = Iф = Uф / Zф,

φa = φb = φc = φ = arctg (Xф/Rф).

Построив векторную диаграмму токов для симметричного приемника (рис. 4.8), легко установить, что геометрическая сумма трех векторов тока равна нулю: İa + İb + İc = 0. Следовательно, в случае симметричной нагрузки ток в нейтральном проводе IN = 0, поэтому необходимость в нейтральном проводе отпадает.

		Ia		Ib
				Ic
Рис. 4.8	Ic			Ib

Несимметричная нагрузка приемника

При симметричной системе напряжений и несимметричной нагрузке, когда и φa ≠ φb ≠ φc, токи в фазах потребителя различны и опреде-

ляются по закону Ома

Ток в нейтральном проводе İN равен геометрической сумме фазных токов

49