РАЗДЕЛ. III. РЯДЫ Тема 7. Числовые ряды

7.1. Сходимость знакоположительных рядов

7.1.1. Типовые примеры

∞

n

Пример 7.1.1. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

n=1 n

+1

Решение. Найдем предел общего члена ряда

lim u

n

= lim

n

= lim

1

=1 ≠ 0 .

+1

1

n→∞

n→∞ n

n→∞

1

+

n

∞

n

Пример 7.1.2. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

n=1 n

n +1

Решение. Найдем ряд для сравнения. Для этого в общем члене данного

ряда un =

n

в числителе и знаменателе оставим только старшие степени

n

n +1

n . В результате получим v

=

n

=

1

.

n

n

n

n

Найдем предел

Так как ряд

расходится.

lim un

n→∞ vn

∑∞ 1

n→∞ n

= lim	n		:	1	= lim	n n		=1.
				n
n→∞ n n +1					n→∞ n n +1

расходится (см. Пример 7.1.5), то данный ряд также

Пример 7.1.3. Исследовать на сходимость ряд ∑∞ 2n +1 .

n=1 n!

Решение. Исследуем ряд по признаку Даламбера. Найдем un , un+1 :

un = 2n +1, un+1 = 2((n ++1))+1 = (2n++ 3) , n! n 1 ! n 1 !

80

и предел
D = lim	un+1	= lim	(2n + 3)n!		= lim		(2n + 3) 1 2 ... n	=
						1 2 ... n (n +1) (2n +1)
n→∞	un n→∞ (n +1)!(2n +1)				n→∞
			= lim	(2n + 3)			= 0 <1.
			n→∞ (n +1)(2n +1)

Следовательно, ряд сходится.

			∞	(n +1)n 2n	.
Пример 7.1.4. Исследовать на сходимость ряд ∑				n
			n=1	3
Решение. Для исследования ряда используем признак Коши
k = lim n (n +1)n 2n		= lim	(n +1) 2 =	2 <1.
n→∞	3n	n→∞	3	3
Так как k <1, то ряд сходится.
Пример 7.1.5. Исследовать на		сходимость обобщенный гармонический

ряд

∑∞ 1 , p > 0 .

n=1 n p

Решение. Запишем производящую функцию ряда

f(x)= x1p

инайдем значение несобственного интеграла

∞dx J = ∫1 x p .

Рассмотрим два случая:

1)

p =1. Тогда получим

∞

dx = ln

∞

J =

x

= lim ln

x

− ln1 = ∞ – интеграл расходится.

1

x

1

x→∞

∫

2)

p ≠1. Тогда получим

∞

∞

x− p+1

∞ =

J = ∫

dxp = ∫x− p dx =

−p +1

1

x

1

1

81

= lim	x− p+1		−	1		=
				−p +1
x→∞ −p +1

	∞,				если	− p +1 > 0,
			1
		+				− p +1 < 0.
	0				, если
			p −1

Интеграл расходится, если p <1 и сходится, если p >1.

В силу интегрального признака можно сделать вывод: обобщенный гар-

монический ряд

	∞	1	сходится, если p >1,
			−
	∑n=1 n p			p ≤1.
			расходится, если

7.1.2. Контрольные вопросы

1) Что называется числовым рядом?

2) Что называется частичными суммами числового ряда?

3) Дайте определение сходящегося и расходящегося числового ряда.

4) Какой ряд называется рядом геометрической прогрессии, и при каком значении знаменателя q он сходится?

5)Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

6)Сформулируйте достаточный признак расходимости ряда.

7)Будет ли необходимый признак достаточным?

8)Сформулируйте признак сравнения в общей и предельной формах.

9)Сформулируйте признаки Даламбера и Коши.

10)Сформулируйте интегральный признак сходимости ряда.

7.1.3.Практические задания

7.1.1.Сравнением с обобщенным гармоническим рядом исследовать сходимость рядов:

∞

n

∞

1

∞

n

+1

а) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑

;

n=1 n3 +1

n=1

n +

1

n=1 n (n +

2)

∞

n

+ 5

∞

n

2

∞

n( n +1)

г) ∑

;

д) ∑

;

е) ∑

.

n=1 n2

n +1

n=1

(n + 3)(n + 4)

n=1 n3 + 3n + 2

7.1.2. Исследовать по признаку Даламбера сходимость рядов:

∞

∞

4

n

∞

а) ∑

2n n+1 ;

б) ∑

;

в) ∑n + 2 ;

3n + 5

n=1

3

n=1

n=1

n!

∞

n!

∞

n

4

8

г) ∑

;

д) ∑

3

;

е) 1 +

2

+

+

+….

4

(2n +1)!

3!

4!

n=1 n +

n=1

2!

82