2.2.14. Найти момент силы F = (2,−1,3),

приложенной к точке P(−1,3,0) отно-

сительно точки O(0,1,2).

2.2.15. Найти линейную скорость точки М, если OM = (2,−1,1),

ω= (1,3,−1) −

угловая скорость вращения.

2.2.16. Найти площадь треугольника,

построенного на векторах

a и b, если

a

= 4,

b

π

.

= 3, a, b =

4

векторов a = (−1,2,1),

b = (0,3,−2),

2.2.17. Найти

смешанное

произведение

c = (1,−2,2). Какую ориентацию имеет тройка a,b,c?

2.2.18. Даны

векторы

a = 2i − j + 3k; b = 3i + j − k; c = i + 2 j + k.

Найти объем

параллелепипеда, построенного на этих векторах.

2.2.19. Найти

объем

пирамиды

с

вершинами

A(1,2,0), B(3,0,−3),

C (5,2,6), D(2,0,1). Найти высоту, опущенную из вершины D на грань АВС.

2.2.20.Компланарны ли векторы a = (2,−1,1), b = (3,2,−1), c = (1,−4,3)?

2.2.21.Лежат ли точки A(0,1,2), B(2,0,−1), C (3,2,−3), D(1,3,−6) в одной плос-

кости?

2.3. Комплексные числа

2.3.1. Типовые примеры

Пример 2.3.1. Найти модули и аргументы чисел а) z1 = −2 − 2i ,

б) z2 =1 − 3i , в) z3 = −2i .

Решение

а) z1 = −2 − 2i Re z1 = x1 = −2 < 0, Im z1 = y1 = −2

23

	z		= r = (−2)2		+ (−2)2 = 8 = 2 2 ,
	1			1
arg z				= ϕ = arctg −2		+ π = π	+ π = 5π .
1				1	−2	4	4

б) z2 =1 − 3i Re z2 = x2 =1 > 0, Im z2 = y2 = − 3 z2 = r2 = 12 + (− 3)2 = 4 = 2,

	arg z2 = ϕ2 = arctg		− 3	+ 0 = −arctg 3 =	π
					3
		1
в) z3 = −2i . В том случае, когда комплексное число
является чисто действительным или чисто мнимым, его
модуль и аргумент можно определять непосредственно
из чертежа: ϕ	= − π , r = 2 (Рис. 2.3.1).
3	2	3

2.3.2. Контрольные вопросы

y
–1 O	1 2
	x
–1	ϕ3
–2	–2i

Рис. 2.3.1

1)Что называется комплексным числом?

2)Геометрическое изображение комплексного числа. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

3)Комплексно-сопряженные комплексные числа. Свойство произведения комплексно-сопряженных чисел.

4)Правила выполнения арифметических действий над комплексными числами в алгебраической форме.

5)Тригонометрическая форма комплексного числа.

6)Формула Эйлера.

7)Показательная форма комплексного числа.

8)Правила арифметических действий над комплексными числами в показательной форме.

2.3.3.Практические задания

2.3.1.Изобразить геометрически, найти модуль и аргумент комплексного чис-

ла:

1) z =1 + i ;	2) z = −2 + 2i ;		3) z = 5i ;	4) z = 2 ;
5) z = −3 − 3i ;	6) z = −3;		7) z = −5i ;	8) z =1 − 2i ;
9) z =1;	10)	z = −1;	11) z = i ;	12) z = −i ;
13) z = −3 + 3i ;	14)	z = − 3 − 3i .
		24

2.3.2. Выполнить действия z

+ z

2

,

z

− z

2

,

z

z

2

и

z1

над числами

z и

z

2

в

1

1

1

z2

1

алгебраической форме:

1) z1 = 2 − 3i , z2 = 4 + i ;

2) z1 = −5 , z2 = 3i ;

3)

z1 = 2i , z2 =1 − i ;

4)

z1 = −1 − 4i , z2 = 3i − 2 .

2.3.3. Выполнить действия:

1)

(2 + 3i)(3 − 2i) ;

2)

(a + bi)(a − bi) ;

3) (3 − 2i)2 ;

4) (1 + i)3 .

2.3.4. Вычислить в алгебраической форме:

1)

(3 − i)(2 + 5i) − i(4 − i) ;

2)

3 + i

+

4

;

1 − 2i

i + 2

3)

3 + 7i

− 3 − 7i ;

4)

2

+ 3i(4 − i) ;

2 − 3i

1 − i

2 + 3i

5)

5

+ (1 − 2i)(3 + i) .

2 + i

2.3.5. Записать в тригонометрической и показательной форме комплексные

числа:
1) z = 3;	2) z = −2 ;	3) z = 3i ;	4) z = −2i ;
5) z = 2 − 2i ;	6) z = −1 + i 3 ;	7) z = − 3 − i ;	8) z =1 + i ;
9) z = −1 − i ;	10) z = 2 3 − 2i .

2.3.6. Записать в алгебраической форме комплексные числа:

1)

i

π

2)

z = 5eiπ

;

3) z =

−i π

z = 3e

4 ;

2e

2 ;

i

7

π

−i

π

i

3π

4)

z = e

6 ;

5)

z =

2e

3 ;

6) z =

2e

4 .

2.3.7. Выполнить действия

z

z

2

и

z1

над числами

z и

z

2

в показательной

1

z2

1

форме:

25