РАЗДЕЛ. IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Тема 9. Численные методы

9.1.Нахождение корней уравнений итерационным методом

9.1.1.Типовые примеры

Пример 9.1.1. Проверить, какому										из		интервалов принадлежит корень
уравнения x5 + 5x −1 =						0,	1	1			3		3
					0 :		2	,	,1 , 1,		2		или	,2 .
								2					2
Решение. Для отделения корня уравнения вычислим значения левой час-
ти уравнения	f (x) = x5 + 5x −1 на концах исследуемых интервалов:
1) f (0) = −1 < 0;
1		1		5
2) f	=		+		−1 > 0 .
		32		2
2

Так как произошла смена знака функции f (x) , то дальнейшие расчеты

	0,	1
проводить не имеет смысла и искомым интервалом является интервал		2	.

Пример 9.1.2. Запишите три итерации метода половинного деления при решении уравнения x2 −37.3 = 0 на отрезке [0,8].

Решение. Определим сначала знаки функции f (x) = x2 −37.3 на концах отрезка: f (0) = −37.3 < 0 , f (8) = 64 −37.3 > 0.

Знаки функции на концах отрезка [0,8] различны, значит корень принад-

лежит этому отрезку и первым приближением корня является его середине x1 = 0 +2 8 = 4 .

Так как f (x1) = f (4) =16 − 37.3 < 0 , то следующим отрезком, содержащим корень будет отрезок [4,8], а вторым приближением корня – середина этого отрезка x2 = 4 +2 8 = 6 .

91

Так как f (x2 ) = f (6) = 36 − 37.3 < 0 , то следующим отрезком, содержащим корень будет отрезок [6,8], а третьим приближением корня – середина этого

отрезка x3 = 6 +2 8 = 5 .

Пример 9.1.3. Методом хорд найти положительный корень уравнения x4 − 2x − 4 = 0 с точностью до ε = 0.01.

Решение. Положительный корень уравнения заключен в промежутке

(1;1.7), так как	f (1) = −5 < 0 , а f (1.7) = 0.9521 > 0 .
Найдем производные:		′		4x	3	− 2. Так как f		′′	= 4x	2	> 0 при x [1;1.7] ,
		f (x) =
то возьмем b =1 (т.к. f (b) f		′′
		(b) < 0 ) и a =1.7 .
Найдем первое приближенное значение корня
	x	=1 − (1.7 −1) f (1)					=1.5880 .
	1		f (1.7) − f (1)
Так как f (1,5880) = −0.8164 , то снова применим метод хорд к промежутку
(1.5880;1.7) :
x	=1 − (1.5880 −1)		f (1)	=1.6397,			f (1.6397)= − 0.0505<0 .
2	f (1.5880) − f (1)
Найдем третье приближение
x	=1 − (1.6397 −1)		f (1)	=1.6428,			f (1.6428)= − 0.0029<0 .
3	f (1.6397) − f (1)
Найдем четвертое приближение
x	=1 − (1.6428 −1)		f (1)	=1.6429,			f (1.6429)= − 0.0002<0 .
4	f (1.6428) − f (1)

Следовательно, с точностью до 0.01 искомый корень равен x =1.64.

Пример 9.1.4. Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения 2 − lg x − x = 0 с точностью до ε = 0.001.

Решение. Отделим корень уравнения. Для этого представим уравнение в виде lg x = −x + 2 и построим графики функций y = lg x и y = −x + 2. Абсцисса

92

точки пересечения этих графиков находится на интервале (1,2) (см. рис. 9.1.1).

Поэтому за начальное приближение можно взять x0 =1. y

2		y = 2 − x			y = lg x
1
					x
0
	1 2

РИС. 9.1.1

Запишем уравнение в виде x = 2 − lg x . Здесь ϕ(x) = 2 − lg x , ϕ′(x) = −lgxe ,

т.е. ϕ′(x) <1 в интервале (1,2) и поэтому метод итерации применим.

Найдем первое приближение

x1 = 2 − lg1 = 2 .

Найдем следующие приближения:

x2	= 2	− lg 2 =1.69897,	x3	= 2	− lg1.69897 =1.76981,
x4	= 2	− lg1.76981 =1.75207,	x5	= 2	− lg1.75207 =1.75645,
x6	= 2	− lg1.75645 =1.75536, x7		= 2	− lg1.75536 =1.75563.

Таким образом, x ≈1.755

9.1.2. Контрольные вопросы

1)Что понимается под приближенным решением уравнения? Что такое погрешность?

2)В чем состоит процедура отделения корня?

3)В чем состоит суть метода деления отрезка пополам?

4)Какова процедура отыскания корня уравнения методом хорд, каков критерий выбора начального приближения?

5)В чем состоит суть метода итераций, каково достаточное условие применимости данного метода?

9.1.3. Практические задания

9.1.1. Проверить, какому из интервалов принадлежит корень уравнения

93