Однофакторный дисперсионный анализ

Пример: выявить зависимость объёма выполненных на стройке работ за смену от работающей бригады.

Номер бригады	1	2	3	4
Номер наблюдения
1	20	27	18	23
2	25	31	19	23
3	22	22	29	21
4	24	32	26	20
5	30		28	26
6	23			25
Средний объём	24	28	24	23

X – случайная величина

F – фактор, воздействующий на случайную величину X F1, F2, …, Fp – уровни фактора

a1, a2, …, ap – математические ожидания на уровнях F1, F2, …, Fp соответственно

H0: a1 = a2 = … = ap

Дисперсионным анализом называется статистический метод, предназначенный для выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования эксперимента.

Критерий Бартлетта

H0: D1(X) = D2(X) = … = Dp(X)

гипотеза о равенстве дисперсий на каждом уровне

q1, q2, …, qp – количество наблюдений на уровнях F1, F2, …, Fp соответственно

s12, s22, …, sp2 – исправленные выборочные дисперсии на уровнях F1, F2, …, Fp соответственно

p

1

(qi 1)si2

p

2

i 1

,

1

1

1

s0

Q 1

p

3( p 1)

q 1

p

(qi 1)

i 1

i

(qi

1)

i 1

i 1

		p				s2
Критерий:	Q		(q	1)	ln	0
						s2
			i
	i 1					i

Если q1, q2, …, qp > 3, то критерий имеет распределение,

близкое к распределению Пирсона с (p-1) степенями свободы.

Критическая область – правосторонняя.

p( W )	p(		кр	)	p(	кр	)	1
					p( кр ) F( кр )
F( кр ) 1				кр F 1(1 ) ,

где F(x) – функция распределения Пирсона с (p–1) степенями свободы.

Уровень фактора F	F1	F2	…	Fp
Номер наблюдения
1	x11	x12	…	x1p
2	x21	x22	…	x2p
…
Число наблюдений	q1	q2	…	qp
Среднее значение	y1	y2	…	yp

H0: a1 = a2 = … = ap

Объём выборки: n = q1+ q2+…+ qp

Уровень фактора F	F1	F2	…	Fp
Номер наблюдения
1	x11	x12	…	x1p
2	x21	x22	…	x2p
…
Число наблюдений	q1	q2	…	qp
Среднее значение	y1	y2	…	yp

1-ая группа – уровень F1:

2-ая группа – уровень F2:

…

p-ая группа – уровень Fp:

x	11	, x	21	, … ,	xq 1
					1
x21, x22, … ,					xq2 2
x1p, x2p, … ,					xqp p

Dв= Dмежгр+Dвнгр

1-ая группа – уровень F1:

2-ая группа – уровень F2:

…

p-ая группа – уровень Fp:

x , x , … ,		xq 1
11	21	1
x21, x22, … ,		xq2 2
x1p, x2p, … ,		xqp p

			p
1.	Dмежгр=		qi ( yi xв )2
			i 1
			n
							p
Факторная сумма:						Sфакт = qi ( yi xв )2
							i 1
		p
2.	Dвнгр=	qi Diгр			, где Diгр – дисперсия i–той группы
		i 1
			n

i-тая группа: x1i, x2i, … , xq i , групповая средняя: yi

q i

i

yi )2

Diгр=

(x ji

j 1

qi

p

p

qi

2

p

qi

2

(x ji

yi )

(x ji yi )

qi Diгр

qi

/ qi

Dвнгр=

i 1

i 1

j 1

i 1 j 1

n

n

n

p

qi

yi )2

Остаточная сумма:

Sост = (x ji

i 1 j 1

	Факторная дисперсия:	sфакт2			Sфакт
					p 1
	Остаточная дисперсия:	sост2		Sост
				n p

D(x) sост2 – всегда

D(x) sфакт2 – если несущественно влияние фактора

H0: a1 = a2 = … = ap

H0 : Sост2 Sфакт2

H0 : Sост2 Sфакт2

s2

Критерий: F факт

sост2

H1 : Sфакт2 Sост2

имеет распределение Фишера с (p–1) и (n–p) степенями свободы

Критическая область W – правосторонняя:

Из требования 1 для критической области:

p(F W )

p(F fпр,кр )

fпр,кр F 1(1 )

F(x) – функция распределения Фишера с (p–1) и (n –p) степенями свободы