Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

P(A B) P(A) P(B)

Задача 2. Найти вероятность появления гербов при одновременном бросании двух монет.

Решение. Обозначим события:

A – «появление герба на первой монете»; B – «появление герба на второй монете». Т.к. событие A и B не зависимы, то:

P(A B) P(A) P(B) 12 12 14

Задача 3. Прибор состоит из системы блоков представленных на схеме. Надежность (вероятность безотказной работы) первого блока равна p1=0,9, второго p2=0,8 и третьего блока

p3=0,75. Найти надежность прибора. Решение. Пусть А – «прибор работает».

В силу последовательно-параллельного соединения блоков прибор будет работать, если работает блок A и хотя бы один из блоков A2, A3.

Пользуясь формулами операций над событиями, получим:

A A1 (A2 A3 )

Тогда

P(A) P(A1 (A2 A3 ))

В силу независимости событий A1 и (A2+A3) применим теорему умножения вероятностей. Вероятность работы хотя бы одного из блоков A2, A3 удобнее найти через противоположное событие

P(A2 A3 ) 1 P(A2 A3 ) 1 (1 0,8) (1 0,75)

Задача 4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель по одному разу. Вероятность попадания в цель первого стрелка 0.8, второго 0.7. Какова вероятность того, что один стрелок промахнется, а другой попадет в цель?

Решение. Испытание состоит в том, что по мишени производится два независимых выстрела. Событие Ai – «попадание i-го стрелка в цель».

Пространство элементарных событий в рамках данного опыта содержит исходы:

A1A2 ;A1A2 ;A1 A2 ;A1 A2

Нам надо найти вероятность события:

P(A1A2 A1 A2 ) P(A1A2 ) P(A1 A2 ) P(A1 ) P(A2 ) P(A1 ) P(A2 )0,2 0,7 0,8 0,3 0,38

Пусть событие A может произойти, если появится одно из событий Hi (i=1,2,…,n) из некоторой полной группы несовместных событий H1, H2,…, Hn – называемых гипотезами. Это означает, что появление события A влечет появление одного из событий AH1, AH2, AH3,…, AHn неважно какого.

Поэтому событие A можно представить в виде:

A AH1 AH2 AHn

Формула полной вероятности примет вид:

n

P(A) P(Hi ) P(A / Hi )

i 1

Послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез Hi при условии наступления события A вычисляются по формуле Байеса.

Вероятность гипотезы Hi после проведения эксперимента:

		n
P(Hi / A) P(Hi ) P(A / Hi ) / P(Hi ) P(A / Hi )
или		i 1
	P(Hi / A)	P(Hi ) P(A / Hi )
		P(A)
P(Hi) - априорная вероятность гипотезы (до
опыта).

P(Hi /A) - апостериорная вероятность гипотезы (после опыта).