Теория вероятности
Случайные
величины
Случайные величины
План лекции
Случайные величины.
2.1. Случайные величины. Функция распределения.
2.2. Дискретные случайные величины (ДСВ). Способы задания.
2.3.Непрерывные случайные величины (НСВ).
2.4.Числовые характеристики случайных величин.
Случайные величины
2.1.Случайные величины. Функция распределения.
Величины, которые могут принять в результате опыта любое из возможных значений, заранее неизвестно, какое называются случайными.
Случайной величиной называется функция, определенная на множестве всех возможных исходов опыта и ставящая каждому элементарному событию x
в соответствие единственное число , зависящее от .
Случайные величины
Функция X f ( ) отображает множество Ω на множество действительных чисел R. Иными словами, СВ есть числовая функция, заданная на пространстве элементарных исходов.
W1 W2 Wi Wj
Ω
X
X1 |
X2 |
Xi |
Случайные величины
Случайные величины
Дискретные
СВ, множество возможных значений которой можно пересчитать
Непрерывные 
СВ, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.
Случайные величины
СВ считается заданной, если задан ее закон распределения, либо соотношение между значениям xi случайной величины X и
соответствующими им вероятностями
pi P(X xi)
Закон распределения СВ может иметь различные формы. Общей формой закона распределения случайной величины является
функция распределения.
Случайные величины
Функцией распределения СВ X называется функция F(X), выражающая вероятность того, что СВ X примет значение, меньше произвольно выбранного значения x:
F(x)=P(X <x)
X
X X
Случайные величины
|
|
Функция распределения |
F(x) |
обладает следующими свойствами: |
|
|
|
F(x)– неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 0 F(x) 1
|
|
|
|
|
При возрастании x от до |
, F(x) |
|
|
изменяется от 0 до 1: |
|
|
|
limx F(x) 0 |
limx , F(x) 1 |
|
F(x) непрерывна слева: xlimx 0 F(x) F(x0 )
0
F(x)– неубывающая функция, т.е. Если x1 x2 , то F(x1) F(x2)
Вероятность попадания СВ X в интервал a;b равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a x b) F(b) F(a)
Случайные величины
Функция распределения F(x)
Случайные величины
2.2 Дискретные случайные величины (ДСВ). Способы задания.
Формы закона распределения ДСВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
|
|
|
Многоугольник |
||||
распределения |
|
|
|
распределения |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция
распределения
Случайные величины