2.Рівняння хвилі

РІВНЯННЯ ПЛОСКОЇ ХВИЛІ [5, с.277]

Рівнянням хвилі є вираз, який описує зміщення осцилятора як функцію її координат X, у, Zта часу t:

, (29.2)

ця функція повинна бути періодичною як відносно часу tтак і відносно координат X, у, Z. Для знаходження вигляду функ­ціїрозглянемо простий випадок: плоска хвиля, яка розпо­всюджується вздовж осі X (рис. 29.3) . Гармонічні коливання точок в площині X = 0 задовольняють рівнянню:

(29.3)

Для визначення виду коливань точок в площині, яка знаходиться на відстані X від збуджуючого осцилятора (джерела хвилі), необхідно врахувати, що хвилі із швидкістю Ʋ на подолання цієї відстані у нашому пружному середовищі потрібен певний час Ʈ:

(29.4)

нагадаємо, що швидкість хвилі Ʋ це щось інше, ніж швидкість коливань кожного осцилятора. Відповідно й коливання точок в площині на відстані X будуть відставати за часом на Ʈ від коливань в площині X = 0 :

(29.5в)

Отже, рівняння плоскої хвилі(повздовжньої, поперечної), яка розповсюджується у напрямку осі X має вигляд (29.56). Нагадаємо, що А - амплітудахвилі. Початкова фаза хвилі визначається вибором початку відліку як часу tтак і положення X .

Під знаком косинуса у (29.56) - фаза хвилі- функція X і t :

(29.6)

Зафіксуємо значення фази і покладемо її рівною деякої константі, початкову фазу вважатимемо рівною нулю ₀= 0 :

(29.7)

Права частина рівняння мусить бути константою, тоді як ліва явно залежить від часу. Для компенсації цієї явної залежності координата повинна залежати від часу, причому не просто залежати, а лінійно залежати, аби ліва частина (29.7) також була б константою, як і права. Виконавши певні перетворення з рівнянням (29.7), отримаємо вираз

. Обравши в правій частині константу, що дорівнює нулю, отримаємо з та­кого простого міркування, що, звідки:(29.8)

Отже, вираз (29.8) дає швидкість, з якою переміщується дане значення фази. Відповідно швидкість розповсюдження хвилі Ʋ є швидкістю переміщення фази, тому її називатимемофазовою швидкістю. Якщо, хвиля розповсюджується в бік зростанняX . Хвиля, якарозповсюджується у протилежному напрямку буде описуватися рівнянням:

(29.9)

Вираз (29.56) описує хвилю, яка відстає від (29.3) по фазі на величину , де черезkпозначене так зване хвильове число:

(29.10)

Рівняння плоскої хвилі, яка розповсюджується вздовж осі X прийме наступний вигляд:

(29.11)

Хвильове число kє модулем так званого хвильового вектора, який визначає напрямок розповсюдження хвилі, де- вектор нормалі до хвильової поверхні.

При виведенні рівняння плоскої хвилі (29.11) ми вважали, що амплітуда коливань не залежить від X. Для хвиль таке спостережуться у випадку, коли енергія хвилі не поглинаєтьсясередовищем. Розповсюдження хвилі у середовищі, яке поглинає енергію хвилі, супроводжується поступовим зменшенням інтенсивності хвилі при віддаленні від джерела коливань - відбувається згасання хвилі.Дослідним шляхом було підтверджено, що в однорідному середовищі затухання відбувається за експоненційним законом:

(29.12)

Відповідно й рівняння плоскої згасаючої хвиліматиме такий вид:

(29.13)

Однак є випадки, коли хвиля не згасає і не поглинається середовищем, зберігає свої розміри і форму. Такі хвилі отримали назву солітонів.

РІВНЯЄШ СФЕРИЧНОЇ ХВИЛІ [5, с.279]

Будь-яке реальне джерело хвиль має певні розміри. Якщо ми обмежимося розглядом хвилі на відстанях, які є набагато більшими за розміри джерела хвилі, то таке джерело можна вважати точковим. А хвильова поверхня, яка розповсюджується від точкового джерела у ізотропному однорідному середовищі буде мати сферичну симетрію. Детальніше про отримання рівняння сферичної хвилі читайте у [5, с.279]. Ми лише наведемо вираз для рівняннясферичноїхвилі:

(29.14)

де r - радіус хвильової поверхні. Зверніть увагу, якщо r→0 , амплітуда у (29.14) прямуватиме до нескінченності оо. Цей цікавий, але фізично абсурдний результат можна пояснити непридатністю рівняння (29.14) для опису сферичної хвилі при малих r.

ХВИЛЬОВЕ РІВНЯННЯ [ 5, с. 281]

Рівняння будь-якої хвилі є рішенням диференційного рівняння, яке має назву хвильового рівняння[5,с.281]:

(29.15)

або у більш зручному вигляді через оператор Лапласа:

(29.16)

Ви самі можете переконатись, уважно придивившись, що. рівняння плоскої хвилі (29.11), яка розповсюджується у напрямі X, є частковим рішенням рівняння (29.16).