5. Принцип суперпозиції. Стоячі хвилі

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦІЇ.ХВИЛЬОВИЙ ПАКЕТ.ГРУПОВА ШВИДКІСТЬ

В реальних середовищах одночасно розповсюджуються велика кількість хвиль. В лінійному середовищі швидкість хвилі не залежить від інтенсивності (29.33), тому в такому середовищі хвилі розповсюджуються незалежно одна від одної. Коливання частинок середовища в такому випадку є геометричною сумою коливань, які б здійснювали частинки при розповсюдженні кожної з хвиль окремо, як стверджує принцип суперпозиції(накладання) хвиль. Отже, хвилі просто накладаються не збуджуючи одна одну.

З огляду на принцип суперпозиції, будь-яку несинусоїдальну хвилю в лінійному середовищі можна замінити еквівалентною їй системою синусоїдальних хвиль, тобто представити у вигляді групи хвиль, або хвильового пакету. Сукупність значень частот цих синусоїдальних хвиль отримала назву спектру частот або просто спектру несинусоїдальної хвилі. В залежності від характеру коливань, які збуджуються хвилею, спектр частот несинусоїдальної хвилі може бути як дискретним та і неперервним.

Найпростішою групою хвиль є квазісинусоїдальна плоска хвиля, яка утворюється в результаті накладання двох плоских хвиль з однаковими амплітудами (А₁ = А₂ = А)і близькими по значенню частотамиі хвильовими числами, що розповсюджується вздовж осіОХ :

(29.34)

За швидкість розповсюдження несинусоїдальної хвилі приймають швидкість U переміщення точки, в якій амплітуда А має будь-яке фіксоване значення (наприклад, А = 0 або А = 2А₀) . Відповідно, деяка точка рухатиметься за законом:

(29.35)

звідки випливає: (29.36)

Величина Uотримала назву групової швидкостіі формально дорівнює швидкості перенесення енергії квазісинусоїдальною хвилею. Групова швидкість використовується для опису переносу енергії (передачі сигналу) за допомогою несинусоїдальних хвиль, що мають інший спектр частот, при умові, що спектр не дуже широкий, а дисперсія хвиль в середовищі для цих частот є малою.

Зв'язок між груповою Uта фазовоюшвидкостями встановлюється наступним чином. Оскількитодеλ-довжина хвилі, отже:

або(29.37)

ВІДБИТТЯ ХВИЛЬ

Хвиля, яка потрапляє на границю поділу двох середовищ, частково проходить криз неї, а частково відбивається від поверхні поділу (вільної поверхні). При цьому в залежності від густини речовин середовищ ці процеси можуть відбуватися по-різному. Існують два граничних випадки:

• Друге середовище є менш густим, або навіть, зовсім відсутнє, тобто пружне тіло має вільну границю.

• Друге середовище більш густе, що можна розглядати як нерухомо закріплений кінець пружного тіла.

Розгляд більш детальний питання, щодо відбиття хвилі від незакріпленого та закріпленого кінців, пропонується зробити самостійно за допомогою [7, с. 314-317].

СТОЯЧІ ХВИЛІ

Розглянемо випадок накладання двох плоских хвиль з однаковою амплітудою, спрямованих назустріч одна одній:

(29.38)

Додавши ці два рівняння та виконавши перетворення за формулою для суми косинусів отримаємо:

(29.39)

Спростимо рівняння (29.39), обравши початок відліку X так аби різниця ₀₂- ₀₂ та аби сума₀₂+₀₂- стали рівними нулю. Окрім того, замість хвильового числа kзапишемойого значення. Остаточно для рівняння (29.39) :

(29.40)

Рівняння (29.40) описує так звані стоячі хвилі, спостері­гати які можна при відбитті хвиль від перешкод: хвиля, яка падає на перешкоду, та біжуча їй на зустріч відбита від перешкоди хвиля, накладаючись одна на одну утворюють стоячу хвилю.

З (29.40) можна зробити висновок, що в кожній точці стоя­чої хвилі відбуваються коливання з частотою, що й у хвиль, які біжать назустріч, причому амплітуда стоячоїхвилі A_st.w.залежить від X :

(29.41)

На рис. 29.4 показана залежність амплітуди стоячої хвилі від координатиA_st.w.(X). Вточках, координати яких задовольняють умові:

(29.42)

амплітуда коливань сягатиме максимального значення. Ці точки отримали назву пучностей стоячої хвилі. Відповідно координати пучностей визначаються:

(29.43)

В точках, координати яких задовольняють умові:

(29.44)

амплітуда коливань обертається в нуль. Відповідно ці. точки отримали назву вузлівстоячої хвилі. Отже, у вузлах хвилі точки середовища коливань не здійснюють. Координати вузлів можна визначити за умовою:

(29.45)

Зверніть увагу: вузли і пучності стоячої хвилі чергуються через кожну чверть довжини хвилі. Спостерігати стоячі хвилі ви зможете під час лабораторного практикуму з коли­вань на прикладі коливань струни. Відмінність між біжучими та стоячими хвилями поля­гає перш за все в тому, що стоячі хвилі не переносять енергію.