Mn+1

Исходя из свойств корней многочленов Чебышева первого рода и определения многочлена Лагранжа Pn(x) n-й степени на отрезке [−1, 1], можно утверждать, что если в качестве n узлов интерполирования взять корни многочлена Tn(x), то максимальное значение погрешности на этом отрезке будет наименьшим для всех возможных вариантов выбора n узлов интерполирование. Интерполяционный многочлен, наделенный таким свойством, называется многочленом наилучшего приближения. Оценка (6.3) при этом приобретает вид

Mn+1

|f(x) − Ln(x)| 6 2n(n + 1)!.

Если интерполирование проводится на произвольном отрезке [a, b], то заменой переменной

	1	1
x =		((b − a)z + (b + a)), z =		(2x − b − a)
	2		b − a

этот отрезок можно свести к отрезку [−1, 1]. При этом корни многочлена Tn(x) будут находиться в точках

xm =	1	(b − a) cos	2m + 1		π + (b + a).
	2		2n

|f(x) − Ln(x)| 6 22n+1(n + 1)!(b − a)n+1.

Интерполяция с помощью сплайнов

Повышение точности интерполирования требует увеличение количества узлов интерполяции. Это приведет к возрастанию степени интерполяционных многочленов. Но в условиях отсутствия допол-

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

нительной информации о заданной таблично функции, последние дают довольно значительную погрешность. В этом случае более эффективным есть использование сплайнов, что на промежутке между узлами интерполирования есть полиномами невысокой степени. На всем промежутке интерполяции [a, b] сплайн — это функция, склеенная из разных частей полиномов. Итак, рассмотрим на отрезке [a, b] систему узлов a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Сплайном Sm(x) называется функция, определенная на [a, b], имеет на нем непрерывные производные m − 1 порядка и на каждом частичном отрезке [xi, xi+1] совпадает с некоторым многочленом степени не выше m. При этом хотя бы на одном из отрезков степень многочлена равняется m.Если Sm(xi) = f(xi), то это — интерполирующий сплайн.

Линейный сплайн — это ломанная, проходящая через узлы интерполирования. Уравнение ломанной для x [xi, xi+1]

S	(x) =	x − xi	(y	i+1 −	y	) + y	.	(6.15)
i		xi+1 − xi			i	i

Кубические сплайны

На практике широкое применение получили кубические сплайны. Доказано, что такой интерполирующий сплайн — единственная функция с минимальной кривизной среди всех функций, которые интерполируют заданную функцию и имеют квадратично интегрируемую вторую производную. В этом понимании кубический сплайн с краевыми условиями есть лучшей из функций, которые интерполи-

руют заданную функцию.

Итак, если h =

b − a

, x

], то кубический сплайн на этом отрезке

i

= x

0

+ ih(i = 0, n

−

1), x

[x

, x

i+1

имеет вид:

n

i

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель