- •Механика и молекулярная физика Контрольные задания для студентов всех специальностей
- •Введение
- •1. Физические основы механики
- •1.1. Основные формулы и законы Кинематика
- •Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно
- •1.1.3. Механика твёрдого тела
- •1.1.4. Механические колебания
- •1.2. Примеры решения задач
- •Согласно теореме косинусов, получим:
- •1.3. Задания Вариант 1
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •2. Молекулярная физика и термодинамика
- •2.1. Основные формулы и законы Молекулярная физика
- •Физические основы термодинамики
- •2.2. Примеры решения задач
- •Решение. Из уравнения Менделеева – Клапейрона
- •Решение. Воздух, являясь смесью идеальных газов, тоже представляет собой идеальный газ, и к нему можно применить уравние Менделеева–Клапейрона:
- •Решение. В основном уравнении молекулярно- кинетической теории –
- •Решение. Вычислим значения молярных теплоемкостей водорода, учитывая, что молекулы водорода – двухатомные, а число iстепеней свободы равно пяти:
- •Используя условие задачи и уравнение для изобарического процесса
- •Решение. Поскольку совершается адиабатический процесс, для решения используем уравнение адиабаты в виде
- •Решение. Термический кпд тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу:
- •По формуле
- •Из рисунка видно, что
- •2.3. Задания
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 10
- •3. Некоторые внесистемные величины:
- •4. Основные физические постоянные:
- •7. Молярные массы (м 10-3кг/моль) газов:
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Механика и молекулярная физика Контрольные задания для студентов всех специальностей
Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно
Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона)
в векторной форме :
, или ,
где - геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;m – масса; – ускорение;– импульс;n – число сил, действующих на точку;
в координатной (скалярной) форме :
; ;,
или
; ;,
где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.
Сила упругости –
,
где k – коэффициент упругости (в случае пружины жесткости); x – абсолютная деформация.
Сила гравитационного взаимодействия –
,
где G – гравитационная постоянная; и- массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки;r – расстояние между ними.
Сила трения скольжения –
,
где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.
Значения координат центра масс системы материальных точек –
; ;,
где – масса- й точки;– координаты точки.
Закон сохранения импульса –
, или ,
где n – число материальных точек или тел, входящих в систему.
Работа, совершаемая постоянной силой, –
, или ,
где – угол между направлениями векторов силыи перемещения.
Работа, совершаемая переменной силой, –
,
причем интегрирование ведётся вдоль траектории, обозначаемой L.
Средняя мощность за интервал времени –
.
Мгновенная мощность –
, или ,
где dA – работа, совершаемая за промежуток времени dt.
Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно) –
, или .
Соотношение потенциальной энергии тела и силы, действующей на него в данной точке поля, –
, или ,
где – единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (например, гравитационное), –
.
Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины) –
.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами и, находящихся на некотором расстоянии друг от друга,-
.
Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, –
,
где h – высота нахождения тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчёта потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии, что h<<R, где R – радиус Земли.
Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде
Применив законы сохранения энергии и импульса в случае прямого центрального удара шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров
и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:
,
,
где и– скорости шаров до удара;и– их массы.
1.1.3. Механика твёрдого тела
Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси –
,
где – момент силы, действующей на тело в течение времениdt; J – момент инерции тела; – угловая скорость;J– момент импульса.
Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде
.
В случае постоянного момента инерции
,
где - угловое ускорение.
Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения –
,
где – проекция силына плоскость, перпендикулярную оси вращения;– плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).
Момент инерции материальной точки –
,
где m – масса точки; r – расстояние от оси вращения до точки.
Моменты инерций некоторых тел правильной геометрической формы приведены в табл. 1.
Таблица 1
Тело |
Ось, относительно которой определяется момент инерции |
Формула момента инерции |
Однородный тонкий стержень массой m и длиной
|
Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно ему Проходит через конец стержня перпендикулярно ему |
|
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m, распределённой по ободу |
Проходит через центр кольца, обруча, трубы, маховика перпендикулярно плоскости основаня |
|
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m |
Проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости
|
|
Однородный шар массой m и радиусом R |
Проходит через центр шара |
|
Момент инерции твёрдого тела –
,
где ri – расстояние от элемента массы mi до оси вращения.
В интегральной форме это выглядит так :
.
Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинаково по всему объёму, то
и ,
где V – объём тела.
Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен
,
где – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси;m – масса тела; a – расстояние между осями.
Закон сохранения момента импульса –
,
где - момент импульса тела под номеромi, входящего в состав системы.
Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел –
,
где ,,и- моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия;,,и- те же величины после него.
Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется, –
,
где и– начальный и конечный моменты инерции;и– начальная и конечная угловые скорости тела.
Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся тело, –
,
где φ – угол поворота тела.
Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела –
.
Кинетическая энергия вращающегося тела –
.
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения, –
,
где – кинетическая энергия поступательного движения тела;– кинетическая энергия вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции.
Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением
.
Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения (см. табл. 2).
Таблица 2
Поступательное движение |
Вращательное движение |
Поступательное движение |
Вращательное движение | ||
Основной закон динамики |
Работа и мощность
| ||||
|
|
|
| ||
Закон сохранения |
Кинетическая энергия | ||||
импульса
|
момента импульса |
|
| ||
|
|
|
Относительное продольное растяжение (сжатие) :
,
где – изменение длины тела при растяжении (сжатии);l – длина тела до деформации.
Относительное поперечное растяжение (сжатие) :
,
где – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);d – диаметр стержня.
Связь между относительным поперечным (растяжением) сжатием и относительным продольным растяжением (сжатием) ε –
,
где µ – коэффициент Пуассона.
Закон Гука для продольного растяжения (сжатия) :
,
где Е – модуль Юнга.
Напряжение упругой деформации –
,
где F – растягивающая (сжимающая) сила; s – площадь поперечного сечения.
Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня –
,
где V – объём тела.