м3 вся

31

б)

24.а)

б)

25.а)

x2 y 2 dxdy , где D: x2 y 2 a 2 , x2 y 2 4a 2 .

D

dxdy , где D: x=0, x=1, y=x, y=2x;

D

ln( 1 x2 y2 )dxdy , где D: x=0, x=1, y=0, x 2 y 2 1

D

( x y )dxdy , где D: x=1, x=3, y=x, y=x3 ;

D

б)

26.а)

б)

27.а)

б)

28.а)

б)

29.а)

б)

	1			x2	y2
						dxdy, где D: x2		y2		1, x 0, y	0
	1			x2
D					y2
	y ln xdxdy , где D: xy=1, y=
								x , x=2;
D
	( h			2x	3y )dxdy , где D: x2			y 2		h2
D
	(cos 2x				sin y )dxdy , где D: x=0, y=0, 4x+4y-						=0;
D
		R2		x2 y2 dxdy , где D: x2					y 2	Rx
D
	( x2				y )dxdy , где D: y=x2 , y2 =x;
D
	x3 y2 dxdy , где D: x2 y 2								R2
D

x2

D y 2 dxdy , где D: x=2, y=x, xy=1;

1 x2 y 2 dxdy , где D: x2 y2 1, x 0, y 0

D

		32
30.а)	e x dxdy	, где D: y=1, y=2, x=0, x=lny;
	D
б)	ydxdy , где D: полукруг диаметром 2 с центром в точке С(1;0).
	D

ЗАДАНИЕ 9.

Вычислить тройные интегралы:

1.а)		xy 2 zdV , где V: x=0, y=0, z=0, x+y=1, x2+z2=1 ;
	V
б)			x 2	y 2 dV , где V: z=x2+y2, z=4
	V
2.а)		xyzdV ,			где V: x2+y2+z2=1, x 0, y 0, z 0 ;
	V
б)		( x2		y		z 2 )3 dV , где V: x2+z2=1, y=0, y=1
	V
3.а)		x 2 y 2 zdV ,					где V: x=1, x=3, y=0, y=2, z=2, z=5;
	V
б)		dV ,		где V:			3z=x2+y2, z=3
	V
				dV
4.а)									, где V: x=0, y=0, z=0, x+y+z=1;
	V	( x		y	z		1 )3
б)		( x 2		y 2 )dV ,				где V: 2z=x2+y2, z=2
	V
5.а)		xdV , где V: x=0, y=1, z=0, y=3, x+2z=3;

V

	33
б)	z x 2 y 2 dV , где V: x2+y2-2x=0, z=0, z=5
	V

6.а)	zdV ,	где V: 0 x2 y2 z2 1 , y=x, y=2x ;
	V
б)	zdV ,	где V: x2+y2-z2 =0, z=2
	V

7.а)	( x 2	y z 2 )dV , где V: 0 x a,	0 y b, 0 z c ;
	V
б)	dV ,	где V: x2+y2-z2 =0, z=6-x2-y2,	z>0
	V

8.а)	( x	2z )dV , где V: x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, x+y+z=2;
	V
б)	z	x 2 y 2 dV , где V: x2+y2=2x, y=0, z=0, z=a, (a>0)
	V

9.а)	( x 2z )dV , где V: x=0, y=0, z=0, x=2, y=2, x+y+z=4;
	V
б)	zdV , где V: z=6-x2-y2, x2+y2=z2, z>0
	V

10.а)	dV ,		где V: x=0, y=0, x=1, y=1, z=0, x+y+z=2;
	V
б)		x 2	y 2 dV , где V: z=x2+y2, z=4
	V

11.а)	ydV ,	где V: x=0, z=0, y=1, y=3, x+2z=3;
	V
б)	zdV ,	где V: z2 =x2+y2, z=1

V

34

12.а)

б)

13.а)

б)

14.а)

б)

15.а)

б)

16.а)

б)

17.а)

б)

( x 2		y 2 )dV ,		где V: x=0, y=0, z=0, y=1, x+z=1;
V
z x 2		y 2 dV ,		где V: x2+y2=1, z=0, z=5
V

xdV , где V: x=0, y=0, z=0, y=2, x+z=3;

V

		z		dV	, где V: 1 y2	z2	2 , 3 x 4
	y 2
V			z 2

x 2 y 2 zdV , где V: x=1, x=3, y=0, y=2, z=2, z=5;

V

( 5x 3z )dV , где V: x2+y2=1, 2x+3z=6, z=0

V

xyzdV , где V: x= 1, y=

1, z=0, z

4

x2

y2 ;

V

(x2

y2 )2 dV , где V: x

0, y 0 ,

0

z

1, y2 x2 4

V

dV

,

где V: x=0, y=0, z=3, z=6, x+y=1;

V

z

z

x 2

y 2 z 2 dV , где V: x2+y2+z2=1

V

( 1 x )dV , где V: x=0, y=0, z=0, z=5, x+y=1;

V

(x2	y2 )dV , где V: x2+y2=R2, x2+y2+z2=R2, z>0

V

35

18.а)

б)

19.а)

б)

20.а)

б)

21.а)

б)

22.а)

б)

23.а)

б)

24.а)

( 2x	3 y z )dV , где V: x=0, y=0, z=0, x+y=3, x+y+z=5 ;
V
(x2	z2 )dV , где V: x2+z2=2y, y=2
V

ydV , где V: x=0, y=0, z=0, x=2, z=2-y;

V

z x2 y2 dV , где V: x2+y2=2x, z=0, z=a (a>0)

V

( x2 y 2 z 2 )dV , где V: 0 x a, 0 y b, 0 z c ;

V

dV , где V: x=0, z=0, x=1, z=a, x2+y2=1

V

( x 2 y 2 )dV , где V: x=0, y=0, z=0, y=a, x+z=a;

V

zdV	, где V: z2	x2		y2
					, z=1
			R2
V

	zdV ,
			где V: x=0.5, y=x, y=2x, z=0, z 1 x2 y2 ;
V
	z	x2	y2 dV ,			где V: x2+y2=2x, z=0, z=1, y=0
V
		dV
					,	где V: x=0, y=0, z=0, x+y+z=1;
V	(x	y	z 1)3
	z	x2	y2 dV ,			где V: x2+y2=2x, z=0, z=3, y=0
V

zdV , где V: x=0, y=0, z=0, x+y+z=2;

V

	36
б)	dV , где V: x2+y2=z2, x2+y2+z2 =2Rz
	V

25.а)	( x y	z )dV , где V: 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1;
	V
б)	zdV ,	где V: x2+y2-z2 =0, z=2
	V

26.а)	xdV , где V: x=0, y=1, z=0, y=3, x+2z=3;
	V
б)	dV , где V: z=6-x2-y2, x2+y2=z2
	V

27.а)	( 2x	3z y )dV , где V: x=0, y=0, z=0, y=a, x+z=b (a>0, b>0);
	V
б)	dV ,	где V: x2+y2+z2=4, y=0, 2x2=x2+y2, z 0
	V

28.а)	( 2x	3y	z )dV , где V: x=0, y=0, z=0, z=3, x+y=1;
	V
б)	dV , где V: x2+y2=hz, z=h.
	V
29.а)	xyzdV ,			где V: x2+y2-z2 =1, x	0, y	0, z	0 ;
	V
б)	(x2	y2 )dV ,		где V: x2+y2=2z, z=2.
	V
30.а)	(x2	y2	z2 )dV , где V: 0 x 1,		0 y	2, 0	z 3 ;
	V
б)	(x2	y2	z2 )3 dV , где V: x2+z2=1, y=0, y=1.

V

37

ЗАДАНИЕ 10.

Вычислить интеграл по замкнутому контуру, применив формулу Грина:

1. y2dx ( x y )2 dy , где L— треугольник с вершинами А(а;0),

L

В(а;а), С(0;а)

2.

( x

y )dx

2xdy , где L—контур треугольника со сторонами x=0,

L

y=0, x+y=a

3.

(

dx

dy

) , где L—контур треугольника с вершинами А(1;1),

y

L

x

В(2;1), С(2;2)

4.

( x

y )dx

( x

y )dy , где L— окружность

x 2

y 2

R 2

L

5.

( x2 y2 )dx

( x2

y2 )dy ,

где L—контур,

образованный

L

полуокружностью

y

R2

x2 и осью ОХ

6.

( x

y )2 dx

( x

y )2 dy ,

где L—контур, образованный линиями

L

y=sinx

и y=0, 0

x

7.

x 2 ydx

xy 2 dy , где L—окружность x 2

y 2

а 2

L

8.

( x2

y2 )dx

( x2

y2 )dy , где L— треугольник с вершинами О(0;0)

L

А(1;0),В(0;1)

9.

2( x2

y2 )dx

( x

y )2 dy ,

где L— треугольник с вершинами А(1;1)

L

В(2;2), С(1;3)

10.

x 2 ydx

xy 2 dy , где L— окружность

x 2

y 2

4

L

38

11.

( x

y )dx

( x y )dy ,

где L— контур, образованный параболой

L

y

x2 1

и ее хордой АВ; А(1;0), В(2;3)

12.

x 2 ydx

xy 2 dy , где L— окружность

x 2

y 2

9

L

13.

x2

y2 dx y(ln(x

x2

y2 )

xy)dy,

где

L—

контур

L

прямоугольника

0

x

4,

0

y 2

14.

ydx

2 ydy ,

где L— треугольник с вершинами

А(2;0),

L

О(0;0), и В(4;2)

15.

ydx

( x 2

y )dy , где

L— контур, образованный

линиями

L

y

2x x2

и y=0

16.

( x

y )2 dx

( x

y )2 dy ,

где

L— контур треугольника с

L

вершинами А(2;0), О(0;0), и В(0;2)

17.

( x2

y 2 )dx

xydy , где L— треугольник с вершинами А(0;0),

L

В(3;0), и С(0;3)

18.

x 2 ydx

xy 2 dy , где L— окружность

x 2

y 2

2аx

L

19.

2( x2

y2 )dx

( x y )2 dy , где L— окружность

x2

y 2

2 y

L

20.

x 2 ydx

x3 dy ,

где

L— треугольник

с

вершинами А(0;0),

L

В(0;2), С(4;0)

39

21.

y 2 dx

( x

y )2 dy ,

где L—треугольник

с вершинами А(5;0),

L

В(5;5), С(0;5)

22.

( x

2 у )dx , где L—контур треугольника со сторонами x=1,

L

y=1, x+y=3

23.

(

dx

dy

)

, где L—контур треугольника с вершинами А(1;1),

L 2 y

3x

В(2;1), С(2;2)

24.

( x2 y 2 )dx

( x2

y 2 )dy ,

где

L—

контур,

образованный

L

полуокружностью y

R 2

x 2 и осью ОХ

25.

( x

y )2 dx

( x

y )2 dy , где L— контур, образованный линиями

L

y=2sinx и y=0,

0

x

26.

x 2 ydx

xy 2 dy , где L— окружность

x 2

y 2 81

L

27.

x2 dx

( x2

y 2 )dy , где L— треугольник с вершинами О(0;0),

L

А(2;0), и В(0;4)

28.

( x2

y 2 )dx

xdy ,

где L— треугольник с вершинами А(1;1),

L

В(1;5), и С(5;5)

29.

x 2 ydx

xy 2 dy , где L— окружность

x 2

y 2

4

L

30.

( x

2 y )dx

( x

2 y )dy ,

где

L—

контур,

образованный

L

параболой

y

x2

4

и ее хордой АВ; А(2;0), В(-1;-3)

40

ЗАДАНИЕ 11

Вычислить поток векторного поля F( M ) через поверхность W,

применив формулу Остроградского-Гаусса.

1. F( M )

zi

3 j

2z 2 k ;

W— внешняя часть поверхности,

образованная цилиндром x2

y 2

9

и плоскостями z=0, z=3

x3

y 3

z 3

2.

F( M )

i

j

k ;

W—

поверхность,

образованная

3

3

3

полусферой z

16

x 2

y

2

и плоскостью z=0

3.

F( M ) ( x

y

z ) j ( 2x y )k ;

W— внешняя часть пирамиды,

образованной

плоскостью

x+y+z=1

и

координатными

плоскостями

4.

F( M )

{ 2x, y,z } ;

W—

внешняя часть

поверхности,

образованная сферой x 2

y 2

z 2

2 и параболоидом z

x 2

y 2

5.

F( M )

xi

2 yj

zk ;

W— внешняя часть поверхности,

образованная конусом z 2

x 2

y 2

и параболоидом z

x 2

y 2

6.

F( M )

xi

yj

zk ;

W—

внешняя часть поверхности,

образованная параболоидом z

6

x 2

y 2

и плоскостью z=0

7.

F( M )

( x z )i

( y

x ) j

( z

y )k ;

W—

внешняя часть

поверхности,

образованная

цилиндром

x 2

y 2

R 2

и

плоскостями z=х, z=0

x 3

8.

F( M )

i

yz

2

j

zy 2 k ;

W—

внешняя

часть

3

поверхности,

образованная

цилиндром

x 2

y 2

25

и

плоскостями z=0,

z=3

9.

F( M )

xyi

y

2 j

zxk ;

W—

полная

поверхность

пирамиды, ограниченной плоскостями x=0, y=0, z=0,

x+y+z=a,

a>0