м3 вся

41

10.

F( M )

2zi

y2 j

2xyk ;

W—

внешняя

часть

поверхности,

образованная конусом

z 2 x 2

y 2

и параболоидом

z

x 2

y 2

11.

F( M ) ( x

z )i ( z y )k ;

W—

внешняя

часть

поверхности,

образованная

цилиндром

x 2

y 2

9

и

плоскостями z=y, z=0

12. F( M )

( 2x z )i

( y

z ) j

xk ;

W—

внешняя

часть

пирамиды,

образованной

плоскостью

2x+y+z=3

и

координатными плоскостями

13.

F( M )

xi

2 yzj

x2 k ;

W—

внешняя

часть

поверхности,

образованная цилиндром x2

z 2

4

, плоскостью

y=0

и параболоидом y

x2

z 2

14. F( M )

2xi

( z 2y ) j ( x 2y

z )k ;

W—

внешняя часть

пирамиды,

образованной

плоскостью

x-2y+z=2, и

координатными плоскостями

15.

F( M )

2 yi

3xj

2zk ;

W— внешняя часть поверхности,

образованная поверхностями x 2

y 2

4 , z=0,

z

x 2

y 2

16.

F( M )

xj

( 3y 2z )k ;

W—

внешняя часть пирамиды,

образованной плоскостью

x-3y+2z-2=0

и

координатными

плоскостями

( x2

y2

17.

F( M )

y )i

( 2x

) j ;

W—

внешняя часть замкнутой

поверхности, лежащая в первом октанте и ограниченная поверхностями x2 y2 ( z 1)2 , z=0, x=0, y=0

18. F( M )	4zi ( 3y	z )k ;	W— внешняя часть пирамиды,
образованной плоскостью			x-2y+2z-2=0	и координатными
плоскостями

19. F( M ) ( 2x	y 2z )k ;	W— внешняя часть пирамиды,
образованной плоскостью		–x+2y+2z-2=0	и координатными

42

плоскостями

20.

F( M )

x2 i

xj

zxk ;

W— внешняя часть поверхности,

образованная параболоидом y

x 2

z 2 и плоскостями y=1, z=0,

x=0

21. F( M ) ( 2x

y ) j ( x

y

z )k ;

W—

внешняя

часть

пирамиды,

образованной

плоскостью

2x+y+z-2=0,

и

координатными плоскостями

22.

F( M )

2xy2 i

2x

2 yj

2zk ;

W—

внешняя

часть

поверхности,

образованная

конусом

x 2

y 2

( z

1 )2

и

плоскостью z=0

23.

F( M )

zi

( y

x ) j ( x z )k ;

W—

внешняя

часть

пирамиды,

образованной

плоскостью

x-y+z-2=0

и

координатными плоскостями

24.

F( M )

xi

yj

zk ;

W—

внешняя часть поверхности,

образованная параболоидом 4

z

x 2

y 2

и плоскостью z=0

25.

F( M )

x

2i

xj

zxk ;

W—

внешняя часть поверхности,

образованная цилиндром x 2

y 2

4

и плоскостями

x=0, y=0,

z=0, z=4

26.

F( M )

xzi

,

W—

внешняя

часть поверхности;

образованная, параболоидом z

1

x 2

y 2

и плоскостью z=0

27.

F( M )

( 2 y

z ) j

2xk ;

W—

внешняя часть пирамиды,

образованной плоскостью

3x-2y+2z=6

и

координатными

плоскостями

28.

F( M )

2x3i

2 y3 j

2z3 k ;

W—

внешняя

часть

поверхности, образованная, сферой

x 2

y 2

z 2

1

и

плоскостью z=0

29.

F( M )

4zi

( x

y z )k ;

W— внешняя часть пирамиды,

образованной плоскостью

-2x+y+z=4

и

координатными

				43
плоскостями
30. F( M ) 2 yi		3zj	zk ;	W— внешняя часть поверхности,
образованная	цилиндром			x 2 y 2 16 , плоскостью z=0 и
параболоидом	z	x 2	y 2 .

ЗАДАНИЕ 12

Вычислить циркуляцию вектора F( M ) по контуру L, применив

формулу

Стокса.

Направление

обхода

выбирается против часовой

стрелки.

1.

F( M )

yi

xj

zk ,

L— линия пересечения поверхностей

z 2

x 2

y 2 , x 2

y 2

z 2

4 , z>0

2.

F( M )

( 2y yz )i

xzj

yxk ,

L—

линия

пересечения

поверхностей x 2

y 2

1 ,

x y

z

1

3.

F( M )

x( y

z )i

y( x

z ) j

z( y

x )k ,

L—

периметр

треугольника с вершинами А(а;0;0), В(0;а;0), С(0;0;а)

4.

F( M )

yi

zj

xk ,

L—

линия пересечения поверхностей

x=0, y=0, z=0,

x 2

y 2

z 2

R 2

3

5.

F( M )

ex i

z( x2

y2 )2 j

yz 3 k ,

L—линия

пересечения

поверхностей z

x2

y 2 , x=0, y=0, z=2

6.

F( M )

x2i

z

2 j

zk ,

L— линия пересечения поверхностей

z 2

x 2

y 2 ,

z=1

7.

F( M )

x2 y

3i

j

zk , L— линия пересечения поверхностей

z=0, x2

y 2

R2

								44
8. F( M )		z 2 i	yj		x2 k ,		L— линия пересечения поверхностей
x=0, y=0, z=0, y2				9	x	z
9.	F( M )	xi	zj		y2 k , L—			линия пересечения поверхностей
x=0, y=0, z=0, y 2				4	x	z
10.	F( M )	xyi	yj		zk , L—			линия пересечения поверхностей
x=0, y=0, z=0, x 2				y 2	z 2	1
		( x2				( z2
11.	F( M )		2x )i				2y ) j , L— периметр треугольника с
вершинами А(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1)
12.	F( M )	xi		yj	xzk ,		L— линия пересечения поверхностей
z 2	x2 1, y=4
13.	F( M )	xi		yj	xzk , L— линия пересечения поверхностей
x=0, y=0, z=0, x			y	z		1

14.F( M ) ( x 3y )i ( x y ) j , L— линия пересечения

поверхностей x2 4 y z , x=0, y=0, z=0

15. F( M ) ( x y )i		( 2x	y ) j ( z	x )k , L— линия пересечения
поверхностей x 2	1	y	z , x=0, y=0, z=0

16.	F( M )	xi ( x 2 ) j			z2 k ,	L—		линия	пересечения
поверхностей z 2			4 x	y ,	x=0,	y=0, z=0
17.	F( M )	( z y )i ( 2y			xz ) j ( 2z xy )k ,			L—	периметр
треугольника с вершинами А(a;0;0), В(0;a;0), С(0;0;a)
18.	F( M )	( 2x y )i			2 yj ,	L—	периметр треугольника с
вершинами А(0;-1), В(0;2), С(2;0)
19.	F( M )	y2 i	z 2 j	2 yzk ,		L—	периметр треугольника с

вершинами А(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1)

						45
20.	F( M )		x2 y3i		j	zk , L— линия пересечения поверхностей
z		a2 x2	y 2 , z=0

21.

F( M )

zi

xj

yk , L— линия пересечения поверхностей

z= -1, z

x2

y 2

10

22.

F( M )

y2 i

x2

j

z 2 k ,

L—

линия

пересечения

поверхностей 1

y

x 2

z 2 ,

x=0, y=0,

z=0

23.

F( M )

xi

yzj

zk ,

L—

линия пересечения поверхностей

x y

z

2 , x=0,

y=0,

z=0

24.

F( M )

y2 i

z 2 j

x2 k , L— линия пересечения поверхностей

x y

z

3 ,

x=0,

y=0,

z=0

25.

F( M )

( x y )i

( y

z ) j

( z

x )k ,

L—

линия пересечения

поверхностей x2

4

y

z , x=0,

y=0 , z=0

26.

F( M )

( x

y )i

( x

z ) j

y2 k ,

L—

линия

пересечения

поверхностей z 2

4

x

y , x=0,

y=0, z=0

27.

F( M )

( z

xy )i

( y xz ) j

( z xy )k ,

L—

периметр

треугольника с вершинами А(2;0;0),

В(0;2;0), С(0;0;2)

28.

F( M )

xyi

yzj

zxk ,

L—

линия

пересечения

поверхностей x=0, y=0, z=0,

x2

y2

z 2

R2

29.

F( M )

xyi

zx2

j yz3 k ,

L—

линия

пересечения

поверхностей x=0, y=0, z=2, z

x 2

y 2

30.

F( M )

x2 i

z 2

j

zk , L— линия пересечения поверхностей

z=4,

z 2

x 2

y 2

46

Образцы решения и оформления задач

Вариант 0

ЗАДАНИЕ 1.

Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием.

а)

dx

;

б)

sin 1 5x dx ;

в)

e

2 x

3

dx ;

10

x

2

cos 2x dx

г)

8xdx

;

д)

ln 8x

9 dx

;

е)

sin3 2x

8x

9

3x2

1

Решение.

а)

dx

10

x 2

Этот интеграл можно привести к табличному №2, преобразовав его так:

10

x

2 dx

10

x

2 d (10

x).

Теперь переменной

интегрирования

служит

выражение

10+x

и

относительно этой переменной получим интеграл от степенной функции.

10

x

2

d (10

x)

(10

x) 2 1

С

1

С.

2

1

10

x

Сделаем проверку:

1

С '

(10 x) 1 '

( 1)(10

x) 1 1

1

.

10

x

(10

x)2

б) sin 1 5x dx

Этот интеграл приводится к табличному №7 аналогичным преобразованием:

sin 1 5x dx sin 1 5x d (1 5x) 15 ,

47

так как d(1+5x)=5dx

1

sin 1

5x d (1

5x)

1

( cos(1

5x))

C

cos(1

5x)

C.

5

5

5

Проверка:

cos(1

5x)

'

1

1

C

(cos(1 5x)'

(

sin(1

5x)

5 sin(1 5x).

5

5

5

в) e2 x 3dx .

Поступая так же, как в предыдущих примерах, получим:

e

2 x 3

dx

1

e

2 x 3

d (2x

3)

1

e

2 x 3

С

2

2

Проверка:

1

'

1

e

2 x 3

С

e

2 x 3

2 e

2 x 3

.

2

2

г)		8xdx		.
	3x2 1

Решаем аналогично предыдущим трем примерам:

	8xdx	8	1			6xdx		4		d (3x2		1)		.
			6				3
3x2 1					3x2 1					3x2		1

Последний интеграл относительно переменной 3x2+1 сводится к

табличному						№2
	4 d (3x2				1)				4					8
										2 3x2		1 С			3x2		1 С.
	3								3					3
			3x2		1

Проверка:

48

		8																				'					8											1															8x
											3x2				1 С																														(6x)														.
3																										3
																																2 3x2											1								3x2 1
д)													ln 8x					9 dx					.
													8x			9
Выражение																						dx													можно записать как																							1			d (ln(8x							9))		:
																				8x						9																																8
	1		d (ln(8x												9))							1				1								8					dx
8																						8				8x				9
Поэтому
																																																																1	d (ln 8x
					ln								8x		9 dx
																																											dx						ln					8x				9												9 )
																												ln 8x										9
																																																													8
											8x				9																												8x		9
																			1			1
				1 ln 8x												9			2											1				2													3						1																3
8											1															C				8				3					ln 8x						9					C			12								(ln 8x							9 )			C.
																																															2
																1
											2
Проверка:
																										'																							1
1																																		1				3															1														ln 8x			9
																9 )3																																																								.
											(ln 8x															C																	(ln 8x				9 )2															8
12																																		12				2																8x				9										8x		9

е)

cos 2x dx

sin3 2x

Для решения этого примера

также используем прием подведения функции

под знак дифференциала :

cos 2x dx

sin 3 2x

(cos 2x dx)

sin 3 2x

1

d (sin 2x)

sin3 2x

2

1

sin 3 1 2x

C

1

sin 2

2x C

1

C

4sin2 2x

2

2

4

Проверка:

					49
1			'	1		cos 2x
		C			( 2) sin 3 2x cos 2x 2
4sin2						sin3 2x
	2x			4

ЗАДАНИЕ 2.

Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.

а) ln xdx ;

б) x2exdx ;

в) ex sin x dx

Решение.

Для решения задачи 2 используем формулу интегрирования по частям:

						udv	uv		vdu
	u	ln x,			dv	dx			dx
а)	ln xdx		dx			x	ln x	x		x ln x dx x ln x x C .
									x
	du			,	v	x
			x

б) В этом примере необходимо применить формулу интегрирования по частям два раза:

	x2exdx		u	x2	dv	exdx	x2	ex	ex 2xdx	x2 ex	2 xexdx
			du	2xdx	v	ex
	u	x	dv	exdx	x2	ex 2(x ex			exdx) x2ex	2xex	2ex C.
	du	dx	v	ex

	в) ex sin x dx
	ex sin x dx	u	ex ,	dv	sin xdx	ex	cos x	ex cos x dx
		du	exdx,	v	cos x

50

Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем, однако, еще раз проинтегрировать по частям.

	ex sin x dx	ex cos x	ex cos x dx	u	ex ,	dv	cos xdx
				du	exdx,	v	sin x
	ex cos x	ex sin x	ex sin x dx

Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Если обозначить его I, можно прийти к уравнению с неизвестным интегралом I. Решаем его и находим:

	I			ex	cos x ex sin x					I
		2I			ex cos x				ex sin x
	I		1	(	ex	cos x			ex sin x)
		2
	Ответ:	ex sin x dx					ex		(sin x	cos x) C
						2

ЗАДАНИЕ 3.

Проинтегрировать рациональные дроби.

а)

x3

2

dx ;

б)

dx

;

в)

x

2 dx

;

x2

x 4

x 1

x2

5x 6

г)

2x4

5x3

4x2

5x 3 dx

2x2

3x

1

Решение.

а)

x3

2

x

4 dx

Если подынтегральная дробь неправильная, следует путем деления выделить частное и остаток от деления, затем проинтегрировать.