м3 вся

61

б)	((x	y)2		z)dV , где V: (z-1)2=x2+y2,		z=0
	V
Решение.
а)	xy	zdV , где V: , z=0, z=y, y= x2,				y=1;
	V
Область V изображена на рисунке 5. Ее можно представить в виде
V (x, y, z) :		(x, y)		G, 0	z y ,
где
G	(x, y) :	1		x 1, x2	y 1 ,

V

G

Рис.5

Сводя тройной интеграл к повторному, получим

																													y											1			1			y
	xy					zdV											xy			zdxdydz								dxdy			xy	z dz									dx				dy	xy			zdz
V											V																G		0											1			x2			0
													3					y																7							1
1				1															1			1				5					1												1
											z 2												2						2					y 2								4									7
	dx					xy dy																dx			xy 2 dy						xdx														x(1			x				)dx
												3											3						3						7						21
1				x2															1			x2									1														1
									1	2								0																2							x2
	4		x			2				0									1
		(									x8dx									x8dx)					0.
21									1
				2						1									0

62

б)	((x y)2 z)dV , где V: (z-1)2=x2+y2, z=0
	V

Область V представляет собой конус ( рисунок 6). Уравнение конической поверхности, ограничивающей область V , можно записать в виде

	z 1	x2		y2 ,
а саму область V представить следующим образом:
V	(x, y, z) : (x, y) G, 0 z 1	x2	y2 ,
Где	G — круг радиуса 1 с центром в начале координат

Рис.6

Удобно перейти к цилиндрическим координатам (ρ,φ,z): x= ρcosφ, y= ρsinφ, z=z

63

					1		x2 y2
	((x		y)2	z)dV	dxdy					((x y)2	z)dz
	V				G			0
			1							2	1	1
		d	d	(( cos	sin			)2		z)dz	d d		(		2 (1	sin 2	)	z)	dz
	G		0							0	0		0
	2	1				1					2	1					1
	d	(	2 (1	)(1 sin 2 )				(1		)2 )d	(			(1	sin 2	)		)d			.
						2						20					24		60
	0	0									0

ЗАДАНИЕ 10.

Вычислить криволинейный интеграл, применив формулу Грина:

(ex sin y py)dx (ex cos y p)dy , где кривая АО –

AO

верхняя полуокружность x2 +y2 =ax, А(а;0), O(0;0), рисунок 7.

G

		G
О
		А
Рис.7
Решение.
Введем обозначения		P ex sin y py,		Q ex cos y p
Дополним кривую интегрирования АО				до замкнутого контура

64

L отрезком ОА по оси Оx. Тогда получим

I Pdx Qdy					Pdx			Qdy.
L					OA
Так как	Q			P		x		x
					e		cos y e cos y p p,
	x			y

То по формуле Грина ( приложение 4), находим

Pdx Qdy	pdxdy,
L	G

где область G — верхняя половина круга радиуса a/2.Поэтому

a2

pdxdy

p

S(G)

p

.

8

G

Вычислим интеграл по отрезку ОА

оси Оx.

Учитывая, что на

этом отрезке P=0 и dy=0,

получим

Pdx

Qdy 0.

OA

Таким образом,

a2

I

p

8 .

ЗАДАНИЕ 11

Вычислить поток векторного поля F( M ) через поверхность W,

применив формулу Остроградского-Гаусса.

3

y

3

2

W— внешняя часть поверхности,

F(M )

x i

j

z k ;

образованная параболоидом x2

y2

z и плоскостью z=2x.

Решение.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность запишем в виде

поверхностного интеграла второго рода:

	65
П x3dydz	y3dzdx z2dxdy
W
Здесь W — кусочно-гладкая замкнутая поверхность, состоящая из
параболоида x2	y2 z и плоскости z=2x (рисунок 8)

Рис.8

Для вычисления интеграла по замкнутой кусочно-гладкой поверхности W

применим формулу Остроградского-Гаусса (приложение 4).

P=x3, Q=y3, R=z2.

	P	3x2	,	Q	3y2 ,	R	2z
	x			y		z

x3dydz	y3dzdx z2dxdy	(3x2	3y2 2z)dxdydz
W	G
G—тело, ограниченное поверхностями		x2 y2	z, z=2x (рисунок 8)

66

Вычислим тройной интеграл с помощью повторных интегралов. Область G

проектируется на плоскость Оxy в область D , границей которой является

окружность	x2 y2	2x, рисунок 8.
				2 x
(3x2 3y2	2z)dxdydz		dxdy			(3x2 3y2 2z)dz	(6x(x2 y2 ) 4x2 4(x2 y2 )2 dxdy
G		D	x	2	y	2	D

Двойной интеграл вычислим, перейдя к полярным координатам: x= ρcosφ, y= ρsinφ

В полярных координатах уравнение окружности примет вид: ρ= 2cosφ,

рисунок 8,														поэтому			двойной интеграл равен
																																			2cos
																											2
(6x(x2													y2 )		4x2 4(x2						y2 )2 dxdy											d							d		(6 3 cos					4 2 cos2						4 4 )
D																																			0
																											2
																									2cos
2					(	6							5 cos		4 cos2					2	6 )					d	16						2		(		12	cos6			cos6						8		cos6		)d
						5														3															5									3
2																									0								2
176 2															176			5				1					3												1									11		.
												cos6		d			(						sin 2									sin 4									sin3 2 )	2
15															15		16			4							64												48							3
																																												2
						2

ЗАДАНИЕ 12
Вычислить			циркуляцию	вектора	F( M )		по	контуру L,
применив формулу Стокса.				F(M )	yi	z2 j	x2k , L— линия
пересечения поверхностей:				сферы	x2 y2	z2	4,	и плоскости
z	3.		Направление обхода выбирается				против часовой

стрелки

Решение.

67

Циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура запишем в виде криволинейного интеграла второго рода:

Ц ydx z2dy x2dz

L

Здесь контур L – окружность, по которой пересекаются сфера x2 y2 z2 4 и

плоскость z	3 ( рисунок 9).
			W

Рис.9

Вычислим этот интеграл с помощью формулы Стокса (приложение 4).

Поскольку

P y,

Q z2 ,

R x2 ,

R

Q

2z,

P

R

2x,

Q

P

1,

y

z

z

x

x

y

И поверхностный интеграл второго рода по формуле Стокса равен

ydx

z 2 dy

x2 dz

2zdydz 2xdzdx dxdy

L

W

2zdydz

2 xdzdx

dxdy.

W

W

W

(cos ; cos

; cos

) — единичный вектор нормали верхней стороны

Пусть n

поверхности W.
Проекции части сферы x2	y2	z2
			4 при 3		z 2 (W) проектируются
на координатные плоскости		Оyz,	Oxz, Oxy		соответственно в области:

68

G	(y, z) :	4 z2	y	4 z2 , 3 z 2 , G (z, x) : 3 z 2,					4 z2 x 4 z2 ,
1					2
G	(x, y) :	x2	y2	1 ,		рисунок 10.
3

G3

G1		G2

Рис.10.

Так как на область G1

проектируются две части поверхности W:

x 4 y2 z2 ,

для которой

cos

0,и x

4 y2 z2 ,

для которой

cos

0,

то для поверхностного интеграла второго рода получаем

2zdydz

( 2zdydz

2zdydz) 0.

W

G1

G1

Аналогично

2xdzdx

(

2xdzdx

2xdzdx)

0.

W

G2

G2

Учитывая, что cosγ>0 , находим третье слагаемое:

dxdy

dxdy

S(G3 )

.

W

G3

Итак,

2zdydz

2xdzdx

dxdy

0 0

.

W

W

W

69

Приложение 1

Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)

1.	( f (x)dx)'		f (x).
2.	d ( f (x)dx)		f (x)dx.
3.	dF (x)	F (x) C.
4.	a f (x)dx		a f (x)dx,		a	постоянная.
5.	( f1(x)	f2 (x))dx		f1(x)dx		f2 (x)dx
6.	Если	f (x)dx		F (x)	C	и v	(x), то	f (v)dv F (v) C.

Приложение 2

Таблица основных интегралов

1.

du u

C.

2.

umdu

um 1

C.

m

1

3.

du

4.

du

ln u

C.

2

u C.

u

u

au du

au

6. eu du eu

5.

C.

C.

ln a

7.

sinu du

cosu

C.

8.

cosu du

sinu

C.

9.

10.

tgu du

ln

cosu

C.

ctgu du

ln

sin u

C.

11.

sh u du

ch u C.

12.

сh u du

sh u

C.

70

13.

du

tg u

C.

14.

du

ctg u

C.

cos2 u

sin2 u

15.

du

u

16.

du

ln

tg

u

C.

ln

tg

C.

cosu

2

4

sinu

2

17.

du

th u C.

18.

du

cth u

C.

ch2u

sh2u

du

u

du

19.

arcsin

C.

20.

ln

u

a2

u2

C.

a

a2

u2

a2

u2

21.

du

1

arctg

u

C.

22.

du

1

ln

a

u

C.

a2 u2

a

a

a2

u2

2a

a

u

u

a2

arcsin

u

23.

a2

u2 du

a2

u2

C.

2

2

a

u

a2

24.

u2

a2 du

u2

a2

ln

u

u2 a2

C.

2

2

Приложение 3

Формула Ньютона-Лейбница:

b		b
f (x)dx F (x)			F (b) F (a)
a		a
	Приложение 4
	Формула Грина
Pdx	Qdy	(	Q			P	)dxdy
L	G		x			y
где	L — граница области G