Определитель матрицы.
Пусть - квадратная матрица- го порядка.
Определение 1.10. Определителем матрицы называется число, которое вычисляется по заданному правилу и обозначается
,
синонимом слова «определитель» является слово «детерминант».
Пример 1.5. а) Пусть , тогда. Например, если, то;
б) Пусть , тогда. Например, если
, то .
Для вычисления определителей матриц более высокого порядка необходимы
Определение 1.11. Минором элементаназывается определитель матрицы, полученной исключением из матрицы- ой строки и- го столбца.
Определение 1.12. Алгебраическим дополнением элементаназывается число, задаваемое формулой.
Теорема Лапласа. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (или столбца) на их алгебраические дополнения
, где .
Теорема Лапласа позволяет перейти от вычисления определителя n – го порядка к вычислению n определителей (n-1) – го порядка, или, после (n-2) применений, к вычислению 0,5 n! определителей второго порядка.
Пример 1.6. Вычислить
.
Замечание. Очевидно, что существует шесть различных способов вычисления данного определителя с помощью теоремы Лапласа. Разложение по первому столбцу было выбрано, потому что один из элементов в данном столбце равняется нулю. Вычислите этот определитель другим способом и сравните результаты.
замечание о применении компьютерной техники
Свойства определителей
Рассмотрим некоторые свойства определителей, проводя доказательства для определителей матриц второго порядка. Пусть , тогда.
Свойство 1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется: .
Доказательство. .
Следствие. При вычислении определителей строки и столбцы матрицы имеют одинаковые свойства (равноправны), поэтому говоря в дальнейшем «строка», будем подразумевать строку или столбец.
Свойство 2. Если в матрице поменять местами две строки, то её определитель поменяет знак.
Доказательство. .
Свойство 3. Если в матрице две одинаковые строки, то её определитель равен нулю.
Доказательство. .
Свойство 4. Если произвольную строку матрицы увеличить в раз, то определитель данной матрицы тоже увеличится враз.
Доказательство. .
Следствие. Если матрица содержит нулевую строку или две пропорциональные строки, то её определитель равен нулю.
Свойство 5. Если к элементам одной строки матрицы прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель матрицы не изменится.
Доказательство. .
Замечание. Свойство 5 позволяет обнулять некоторые элементы матрицы, не меняя её определителя. С помощью этого можно упростить вычисление определителя
,
вначале обнуляя элемент , а затем разложив по первому столбцу (по теореме Лапласа).
Свойство 6. Сумма произведений элементов одной строки матрицы на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю
Доказательство. .
Следствие. Из свойства 6 и теоремы Лапласа вытекает, что .
Свойство 7. Пусть и- квадратные матрицы порядка, тогда.
!Доказательство этого свойства самостоятельно только для желающих участвовать в конференции!
Следствие. Поскольку , то из свойства 7 вытекает, что.
Свойство 8. Определитель треугольной (в том числе диагональной) матрицы равен произведению её диагональных элементов.