Лекція 3 Основні етапи побудови математичної моделі

Процес побудови мат моделі включає в себе такі основні етапи:

1. Обстеження об’єкту моделювання

2 Концептуальна постановка задачі моделювання

3 Математична постановка задачі моделювання

4 Вибір і обгрунтування методу розв’язання задачі

5 Реалізація математичної моделі у вигляді програми для ЕОМ

Задачі математичного моделювання на етапі обстеження об’єкту

На початковому етапі створення математичної моделі необхідно провести детальне обстеження досліджуваного об’єкту, що включає в себе такі задачі:

1. Ретельне обстеження власне об’єкту вед інку, визначити відповідні параметри, які дозволять описати модельований об’єкт;

2. Збір і перевірка наявних експериментальних даних про об’єкти-аналоги, проведення за необхідності додаткових експериментів;

3. Аналітичний огляд літературних джерел, аналіз і порівняння між собою побудованих раніше моделей даного об’єкту, або аналогічних об’єктів;

4. Аналіз і узагальнення накопиченого матеріалу, розробка загального плану створення мат моделі.

На основі зібраної інформації про об’єкт моделювання формулюється змістовна постановка задачі моделювання, яка, як правило, не є кінцевою і може уточнюватися і конкретизуватися в процесі розробки моделі. Проте, всі подальші уточнення і зміни змістовної постановки повинні носити частинний, а не принциповий характер. Якщо об’єкт моделювання являє собою технологічний процес, машину, конструкцію або деталь, то змістовну постановку задачі моделювання часто називають технічною постановкою задачі.

Особливості етапу концептуальної постановки задачі в процесі математичного моделювання

Концептуальна постановка задачі моделювання – це сформульований в термінах конкретних дисциплін (фізики, хімії, біології і т.д.) перелік основних питань, які потрібно вирішити, а також сукупність гіпотез відносно властивостей і поведінки об’єкта моделювання.

Найбільші труднощі при формулюванні концептуальної постановки виникають в моделях, які знаходяться на «стику» різних дисциплін.

Концептуальна модель будується як деяка ідеалізована модель об’єкта, записана в термінах конкретних (природничо-наукових) дисциплін. Для цього формулюють сукупність гіпотез про поведінку об’єкта, його взаємодію з оточуючим середовищем, зміни внутрішніх параметрів. Ці гіпотези повинні повинні бути науково обґрунтованими. Згідно прийнятих гіпотез визначають множину параметрів, які описують стан об’єкта, а також перелік законів, що керують змінами і взаємозв’язком цих параметрів між собою.

Математична постановка задачі моделювання Засоби контролю адекватності математичної моделі

Концептуальна постановка дозволяє сформулювати математичну постановку задачі моделювання, яка включає в себе сукупність різних математичних співвідношень, що описують поведінку і властивості об’єкта моделювання.

Сукупність математичних співвідношень визначає вид оператора моделі. В більшості випадків оператор моделі включає в себе систему звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР), диференціальних рівнянь в частинних похідних (ДРЧП) і (або) інтегродиференціальних рівнянь (ІДР). Для забезпечення коректності постановки задачі до системи ЗДР або ДРЧП додають початкові і граничні умови, які враховують значення шуканих параметрів в початковий момент часу і на границях області дослідження.

Можна виділити декілька найбільш розповсюджених типів задач ЗДР або ДРЧП:

1. Задача Коші, в якій за заданими в початковий момент часу змінним визначають значення цих змінних в будь-який момент часу;

2. Крайова задача, в якій умови на шукану функцію задаються в початковий момент часу для всієї просторової області і на її границі в кожний момент часу (на досліджуваному інтервалі);

3. Задача на власні числа, у формулювання якої входять невизначені параметри, які визначають з умови якісної зміни системи

Для контролю правильності отриманої системи необхідно провести ряд обов’язкових перевірок:

1. Контроль розмінностей (в правій і в лівій частині рівняння розмірності величин повинні бути однаковими)

2. Контроль порядків, який полягає у грубій оцінці порядків всіх членів рівняння, що дає можливість знехтувати малозначимими параметрами.

3. Контроль характеру залежностей, який полягає в тому, що напрямок і характер зміни вхідних параметрів моделі, що випливає з математичних співвідношень повинен відповідати фізичному змісту моделі

4. Контроль екстремальних ситуацій, який полягає в аналізі граничних значень вхідних параметрів моделі.

5. Контроль граничних умов, який полягає в перевірці того, що вони враховуються моделлю і відповідають її фізичному змісту

6. Контроль фізичного змісту – перевірка фізичного змісту вихідних і проміжних співвідношень, що виникають по мірі побудови моделі

7. Контроль математичної замкнутості – перевірка того, що система математичних рівнянь дасть можливість однозначно розв’язати поставлену задачу.

Якщо виконується 1-7, то математична модель є коректною .