Підраховуємо залишок після 5-ти років діяльності обох підприємств, що не йде в прибуток, і величину прибутку:

₅ = ( – )х₅ +  к₅ = (0,8 – 0,85)х₅ + 0,85к₅ = – 0,05 х₅ + 0,85 к₅

z₅ = (– )х₅ + к₅ = (0,6 – 0,7) х₅ + 0,7к₅ =– 0,1 х₅ + 0,7 к₅

Знаходимо максимальний прибуток за принципом: одному підприємству віддати всі ресурси, іншому – нічого:

z_5(max) = (–0,1 х₅ + 0,7 к₅) = 0,7 к₅

Максимум досягається, якщо к₅ = 0, тобто на 5-му році ІІ-му підприємству віддали всі ресурси: у₅ = к₅.

Етап 4.

Аналогічні розрахунки проводимо на кожному етапі.

₄ = (0,8 – 0,85)х₄ + 0,85к₄ = -0,05 х₄ + 0,85 к₄  к₅

Для знаходження прибутку після 4-го року діяльності необхідно пам’ятати, що до цієї суми додається максимальний прибуток, отриманий після 5-го року діяльності.

z₄ = ( - )х₄ + к₄ + z_5(max) = (0,6 – 0,7) х₄+ 0,7к₄ + 0,7 к₅ =

– 0,1 х₄ + 0,7 к₄ + 0,7(-0,05 х₄ + 0,85 к₄) = – 0,135 х₄ +1,295 к₄

z_4(max) = (– 0,135 х₄ + 1,295 к₄) = 1,295 к₄

Виникла та ж сама ситуація, коли ІІ-му підприємству передаються всі ресурси, заплановані на 4-ий рік діяльності, а І-му підприємству – нічого, тобто у₄ = к₄, х₄ = 0.

Етап 3.

₃ = (0,8 – 0,85)х₃ + 0,85к₃ = – 0,05 х₃ + 0,85 к₃  к₄

z₃ = (– )х₃ + к₃ + z_4(max) = (0,6 – 0,7) х₃+ 0,7к₃ + 1,295 к₄ =

– 0,1 х₃ + 0,7 к₃ + 1,295(– 0,05 х₃ + 0,85 к₃) = – 0,165 х₃ + 1,8 к₃

z_3(max) = (– 0,165 х₃ + 1,8 к₃) = 1,8 к₃

Отримали знову результат: у₃ = к₃, х₃ = 0.

Етап 2.

₂ = (0,8 – 0,85)х₂ + 0,85к₂ = – 0,05 х₂ + 0,85 к₂  к₃

z₂ = ( - )х₂ + к₂ + z_3(max) = (0,6 – 0,7) х₂+ 0,7к₂ + 1,8 к₃ =

– 0,1 х₂ + 0,7 к₂ + 1,8(-0,05 х₂ + 0,85 к₂) = - 0,19 х₂ + 2,23 к₂

z_2(max) = (– 0,19 х₂ + 2,23 к₂) = 2,23 к₂

Знову маємо незмінну картину, коли : у₂ = к₂, х₂ = 0.

Етап 1.

₁ = (0,8 – 0,85)х₁ + 0,85к₁ = – 0,05 х₁ + 0,85 к₁  к₂

z₁ = (– )х₁ + к₁ + z_2(max) = (0,6 – 0,7) х₁+ 0,7к₁ + 2,23 к₂ =

– 0,1 х₁ + 0,7 к₁ + 2,23(– 0,05 х₁ + 0,85 к₁) = – 0,2 х₁ + 2,6 к₁

z_1(max) = (– 0,2 х₁ + 2,6 к₁) = 2,6 к₁

Висновок: Щоб отримати максимальний прибуток від обох підприємств, рівний 2,6 від суми вкладу (к₁ = К), потрібно протягом всього періоду Т = 5 років вкладати кошти в ІІ-е підприємство.

2. Задача розподілу ресурсів за умови вкладання отриманих прибутків в розвиток автотранспортних підприємств після кожного року діяльності.

Для купівлі обладнання 2-ох типів виділено К умовних одиниць. Ефективність вкладання цих ресурсів в обладнання оцінюється тим прибутком, що отримає підприємство від експлуатації цього обладнання.

Для обладнання І-го типу коефіцієнт прибутку  = 0,4; для обладнання ІІ-го типу –  = 0,42. В кінці звітного періоду (Т=3) амортизаційне обладнання реалізується за ціною: І тип  = 0,7; ІІ тип  = 0,6 від початкової вартості. Виручені ресурси, а також отриманий прибуток знову вкладається в купівлю обладнання І-го і ІІ-го типів. Знайти оптимальний розподіл ресурсів для їх купівлі протягом 3-х років.

Враховуючи виродженість задачі (відсутнє відрахування прибутку), розв’язуємо її, починаючи від 1-го року і до кінця 3-го.

Функціональна схема задачі:

Етап 1.

Оскільки немає необхідності розраховувати прибуток окремо, то матимемо формулу для розрахунку максимальних ресурсів, що вкладатимуться в купівлю нового обладнання.

к₂ = ((– +-) х₁ + (– ) к₁) =

= ((0,4– 0,42+0,7–0,6)х₁ + (0,42+ 0,6)к₁) =

= (0,08х₁ + 1,02 к₁) = 1,1 к₁

Як видно з останнього запису, - для отримання максимального прибутку від експлуатації обладнання в першому році, необхідно вкладати ресурси в обладнання І-го типу.

Етап 2.

Розраховуємо кошти, які вкладаються для купівлі нового обладнання на 3-ій рік:

к₃ = ((0,4-0,42+0,7–0,6)х₂ + (0,42 + 0,6)к₂) =

= (0,08х₂ + 1,02 к₂) = 1,1 к₂ =1,1 к₁ = 1,21 к₁

Залишки після трьох років діяльності підприємства складатимуть:

₃ = к₄ = 1,1 к₃ = 1,331 к₁

Висновок: вкладаючи кошти для купівлі обладнання І-го типу, підприємство буде з прибутком.

3. Задача розподілу ресурсів за умови вкладання отриманих прибутків в розвиток автотранспортних підприємстві і відрахування прибутків на певних етапах їх діяльності.

Задамо вхідні параметри:  = 0,8;  = 0,75;  = 0,4;  = 0,5, Т= 3.

Сума прибутку, що отримується після 1-го і 3-го років, вкладається в розвиток підприємств, а після 2-го – відраховується до головного підприємства (залишок після останнього року до прибутку не додається). Шукаємо умовне оптимальне управління, починаючи з 3-го року.

Знайдемо умовне оптимальне управління, тобто підрахуємо залишки після кожного року діяльності підприємств, починаючи з третього року.

Етап 1.

₃ = х₃ + (к₃ – х₃) + х₃ +  (к₃-х₃) = (– + – )х₃ + (+)к₃;

_3max=((0,8-0,75+0,4– 0,5)х₃+(0,75+0,5)к₃)=(– 0,05х₃+1,25к₃) = 1,25к₃

При таких вхідних параметрах другому підприємству потрібно віддати всі ресурси, а перше залишити без дотацій: х₃ = 0, у₃ = к₃ і z₃ = 0.

Етап 2.

₂  к₃ = (– )х₂ +  к₂ = (0,4 – 0,5)х₂ + 0,5к₂ = – 0,1х₂ + 0,5к₂

z₂ = (– )x₂ + к₂ = 0,05х₂ + 0,5к₂

z_2max = (0,05x₂ + 0,75к₂) = 0,8к₂

Щоб отримати максимальний прибуток, необхідно в перше підприємство вкласти всі ресурси, а в друге – нічого: х₂ = к₂, у₂ = 0.

Етап 3.

₁  к₂ = (– 0,05х₁ + 1,25к₁) = 1,25к₁

z₁ = 0; x₁ = 0; y₁ = к₁, тобто всі ресурси вкладатимуться в 2-е підприємство на першому році їх діяльності.

Висновок: при такому розподілі ресурсів підприємства матимуть прибуток після першого року діяльності, рівний 1,25 від початкового вкладу (К= к₁), який повністю вкладається в 1-е підприємство, і отриманий в кінці 2-го року прибуток, рівний

z_2max = 0,8к₂ = = к₁ = К,

тобто рівний величині ресурсів, вкладених в обидва підприємства на початку планового періоду, відраховується до головного підприємства. Залишки після 2-го року діяльності підприємств, рівні

₂ = к₃ = – 0,1х₂ + 0,5к₂ = – 0,1к₂ + 0,5к₂ =0,4к₂ = 0,4= 0,5к₁ = 0,5К,

вкладаються в перше підприємство. Після 3-го року прибуток вкладається у виробництво 2-го підприємства і разом із залишками складатимуть суму, рівну

₃ = 1,25к₃ = 1,25= 0,625К.