Раздел 1. Общая теория статистики Тема: Средние величины и показатели вариации

Средние величины

Средняя величина – это обобщающая характеристика однородной совокупности явлений по определенному признаку.

Выбор вида средней определяется экономическим содержа­нием определенного показателя и исходных данных. Выделяют структурные (мода и медиана) и степенные средние.

В каждом конкретном случае применяется одна из степенных средних вели­чин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д.

Примечание к таблице:

х₁, х₂,…х_п – индивидуальные значения варьирующего признака; п – число единиц совокупности; f – частота или повторяемость признака

Вид степенной средней	Формула расчета
	Простая	Взвешенная
арифметическая
гармоническая

Показатели вариации

При изучении явлений и процессов общественной жиз­ни статистика встречается с разнообразной вариацией (т.е. изменчивостью) признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности. Величины признаков из­меняются под действием различных факторов. При характеристике колеблемости признака применя­ют систему показателей.

Абсолютные показатели вариации (кроме дисперсии) измеряются в тех же единицах, что и сам признак и к ним относятся:

Размах вариации. Наиболее простым способом изме­рения колеблемости является определение размаха вариа­ции, т.е. разности между максимальным и минимальным значениями варьирующего признака.

Среднее линейное отклонение. Среднее линейное от­клонение представляет собой среднюю из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней. Среднее линейное отклоне­ние рассчитывается по формуле средней арифметической:

простой :

взвешенной:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсией называется средний квадрат отклонений ин­дивидуальных значений признака от их средней величи­ны. Дисперсия обозначается греческой буквой (сигма) в квадрате и равна

При равенстве весов или когда они равны 1,

Среднее квадратическое отклонение равно корню квад­ратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней, т.е. из дисперсии:

Относительные показатели вариации выражаются в процентах или относительных величинах и к ним относятся:

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифме­тической.

Чем меньше коэф­фициент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот.

Тема: Индексы

Индекс – представляет собой относительную величину, получаемую в результате сопоставления уравнений сложных социально – экономических показателей во времени, в пространстве или выражающих сравнение фактических данных с любым эталоном (план, прогноз, норматив и т.д.).

Для удобства восприятия индексов в теории статистике разработана определённая символика. Так каждая индексируемая величина имеет своё символическое обозначение:

i – индивидуальный индекс

I – общий (агрегатный) индекс

р_i – цена товара за i период

q_i – натуральный объём товаров

p_iq_i – товарооборот, стоимость продукции

z_i – себестоимость продукции 1 штуки

q_iz_i – полная себестоимость (весь объём)

t_i – производительность

Индивидуальными называют индексы, характеризующие изменения одного элемента совокупности. Можно выделить:

а) индивидуальный индекс цен

i_p=p₁/p₀ – показывает изменение уровня цены единицы каждого вида продукции в отчётном году по сравнению с базисным.

б) индивидуальный индекс физического объёма

i_q=q₁/q₀

Агрегатный индекс, как сводный аналитический индекс.

Агрегатный индекс стоимости продукции.

Индекс физического объема продукции является типичным индексом количественных показателей.

Он может быть рассчитан по формуле:

= =,

-фактическая стоимость продукции отчетного периода;

- фактическая стоимость продукции базисного периода

Разность числителя и знаменателя индекса товарооборота характеризует абсолютный прирост (уменьшение) товарооборота в отчётном периоде по сравнению с базисным.

∆

Агрегатный индекс физического объема продукции.

Oн представляет собой отношение условной стоимости произведенных в текущем периоде товаров в ценах базисного периода к фактической стоимости товаров, произведенных в базисном периоде (индекс Ласпейреса):

Или – это отношение фактической стоимости товаров, произведенных в отчётном периоде к условной стоимости товаров, произведенных в базисном периоде в ценах отчетного периода (индекс Пааше):

,

- условная стоимость товаров, которые реализованы в отчётном периоде по базисным ценам;

- условная стоимость товаров, которые реализованы в базисном периоде по отчётным ценам.

Агрегатные индексы цен Пааше, Ласпейреса и Фишера.

Формула агрегатного индекса цен Ласпейреса представляет собой следующее отношение:

Формула агрегатного индекса цен Пааше выглядит следующим образом:

₌

Индексы цен характеризуют фактическую экономию или перерасход от изменения цен, т.е. на сколько товары в отчётном периоде стали дороже или дешевле, чем в базисном.

Американский экономист И. Фишер предложил «идеальный» индекс названный его именем, который представляет собой среднюю геометрическую из произведения двух агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пaaшe.

Кроме того, формула, предложенная Фишером, может быть использована и для определения индекса физического объёма.

Недостаток формулы состоит в том, что она лишена конкретного экономического содержания (разность между числителем и знаменателем не показывает никакой реальной экономии или потерь вследствие изменения цен).

Средневзвешенные индексы.

Если информационная база не дает возможности проведения индексного анализа в агрегатной форме, индексы могут быть построены в форме средних из индивидуальных.

Средневзвешенный индекс – это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов.

При его расчёте используются 2 формы средних величин: арифметическая и гармоническая.

Средний гармонический индекс цен применяется в тех случаях, ко­гда неизвестны отдельные значения p₁,q_l, но дано их произведение p₁q₁ и индивидуальные индексы цен i_p=p₁/p₀ , а сводный индекс должен быть исчислен с отчетными весами.

₌,

Так как =, то

Средний арифметический индекс цен получается в том случае, если из индивидуального индекса цен i_p= p₁/p₀ выразить цену отчетного периода p_l = i_a p₀, а затем подставить ее в числитель агрегатного индекса цен:

Для построения средневзвешенного физического объема продукции применяется аналогичный принцип.

Индексный анализ средних величин: индексы постоянного, переменного составов и структурных сдвигов.

При изучении динамики качественных показателей приходится определить изменение средней величины индексируемого показателя, которое обусловлено взаимодействием двух факторов: изменение отдельных уровней показателя и изменение в структуре весов.

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних величин какого-либо признака в отчетном и базисном периодах:

Индекс, который характеризует динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре совокупности и отражает изолированное действие первого фактора, называется индексом постоянного (фиксированного) состава и может быть вычислен по формуле:

или

Индекс структурных сдвигов может быть рассчитан по формуле:

Индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов увязываются в следующую систему: