Тема 2: Множественная регрессия и корреляция

Задача 1. Имеются следующие данные по торговым предприятиям:

№	Валовой доход за год, млн. руб.	Среднегодовая стои­мость основных фон­дов, млн. руб.	Среднегодовая стоимость оборотных фондов, млн. руб.
1	20,3	11,8	10,5
2	6,3	2,8	5,6
3	4,5	1,7	5,4
4	11,3	5	6,3
5	12,1	5,6	2,8
6	8,8	10,2	5
7	11	11,6	5,4
8	5,6	12,4	4,2
9	8	11,4	3,6
10	23,7	15,4	10,6
11	16	11,5	8,8
12	7,5	9,8	4,6

Задание:

1. определите параметры уравнения линейной множественной регрессии;

2. оцените тесноту связи изучаемых показателей;

3. оцените значимость полученного уравнения.

Решение:

1. Для определения параметров уравнения линейной множественной регрессии:

построим следующую систему уравнений:

Построим расчетную таблицу

№	x1	x2	y	yx1	yx2	x^21	x^22	x1x2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
итого

Решим систему методом определителей матрицы

Рассчитаем частные определители путем замены соответствующего столбца матрицы данными левой части системы

=

Определим параметры уравнения по следующим формулам :

Уравнение линейной множественной регрессии имеет следующий вид:

Коэффициенты регрессии показывают, что

2) Оценим тесноту связи с помощью индекса множественной корреляции

Построим расчетную таблицу

№	x1	x2	y	yxi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
итого

3) оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом

Fтабл. = 4,26 при заданных степенях свободы и уровне значимости(5%).

Задача 1. По 30 территориям России имеются следующие данные:

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейный коэффициент парной корреляции
Среднедневной душевой доход, руб., у	86,8	11,44	-
Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х1	54,9	5,86
Средний возраст безработного, лет, х2	33,5	0,58

Задание:

1)постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с и, пояснить различия между ними.

2) рассчитайте линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

3) рассчитайте общий и частные F-критерии Фишера.

Решение:

1. Линейное уравнение множественной регрессииyотx₁иx₂имеет вид:. Для расчёта его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:.

Расчёт -коэффициентов выполним по формулам

Получим уравнение

.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁иb₂используя формулы для перехода откb_i:

;

Значение а₀определим из соотношения

тогда

Для характеристики относительной силы влияния x₁иx₂наyрассчитаем средние коэффициенты эластичности:

С увеличением средней заработной платы x₁ на 1% от ёё среднего уровня средний душевой доход у возрастает на ……..% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного x₂ на …….% среднедушевой доход у снижается на ……..% от своего среднего уровня. Сила влияния средней заработной платы x₁ на средний душевой доход у оказалась ………, чем сила влияния среднего возраста безработного x₂.

Сравним модули значений β₁ и β₂:

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении и β_j, объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних:, а β-коэффициент - из соотношения средних квадратических отклонений:.

2. Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи коэффициенты парной и частной корреляции отличаются …………………………………….............................................................................

…………………………………………………………………………………………………….., то есть

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов иβ_j:

Зависимость yотx₁иx₂характеризуется как …………., в которой …….% вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно ………..% от общей вариацииу.

3.Общий F-критерий проверяет гипотезуH₀о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² =0):

Сравнивая и, приходим к выводу о необходимости ………… гипотезуH₀, так как……. С вероятностью 1-α=0,95 делаем заключение о статистической …………….. уравнения в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались под …………………… воздействием факторовx₁иx₂.

Частные F-критерии -иоценивают статистическую значимость присутствия факторовx₁иx₂в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение единого фактора после другого фактора, т.е.оценивает целесообразность включения в уравнение фактораx₁после того, как в него был включен факторx₂. Соответственноуказывает на целесообразность включения в модель фактораx₂после фактораx₁:

Сравнивая и, приходит к выводу о ………………. включения в модель фактораx₁ после фактораx₂, так какГипотезуH₀о несущественности приростаза счет включения дополнительного фактораx₁ после фактораx₂………………..

Целесообразность включения в модель фактора x₂после фактораx₁проверяет

Значение свидетельствует о статистической ………….. приростаза счет включения в модель фактораx₂после фактораx₁. Следовательно, ……………… нулевая гипотезаH₀о нецелесообразности включения в модель фактораx₂(средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней заработной платы является статистически ………………., ………………….. и что ……………………………………, включая дополнительный факторx₂(средний возраст безработного).

Задача 3 . Имеются следующие данные по с/х предприятиям:

№	Посевная площадь, тыс. га	Валовой сбор, тыс. т	Внесено мин. удобрений, кг/га
1	4	6	30
2	2	4,6	33
3	3,1	4,4	20
4	3,2	4,5	25
5	3,4	5,5	29
6	3,5	4,8	20
7	3,7	5,1	21
8	3,2	5,2	20
9	3,9	7	35
10	3,5	5,3	30
11	5	7,5	35
12	3,7	7,7	30
13	5	7,3	40
14	3,8	7	42
15	5	6,7	39

Задание:

1) охарактеризуйте зависимость представленных показателей;

2. постройте уравнение множественной регрессии и определите его параметры;

3. оцените тесноту связи изучаемых показателей;

4. оцените значимость уравнения множественной регрессии (самостоятельно).