Оглавление

	Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
	ГЛАВА I. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
1.1.	Переменная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
1.2.	Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
1.3.	Область определения и изменения функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
1.4.	Последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
1.5.	График функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
1.6.	Способы задания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
1.7.	Основные элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
1.8.	Сложная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
1.9.	Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
1.10.	Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
1.11.	Явные и неявные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
1.12.	Основные характеристики функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
	ГЛАВА 2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
2.1.	Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
2.2.	Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
2.3.	Условие существования предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
2.4.	Предел функции при бесконечно большом значении аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19
2.5.	Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19
2.6.	Бесконечно большие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
2.7.	Бесконечно малые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	21
2.8.	Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	21
2.9.	Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
2.10.	Признак существования предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	23
2.11.	Два замечательных предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
2.12.	Эквивалентные бесконечно малые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
2.13.	Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
	ГЛАВА 3. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
3.1.	Определение непрерывности функции в точке . . . . . . . . . . . . . . .	37
3.2.	Односторонняя непрерывность в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
3.3.	Точки разрыва функции и их классификация . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
3.4.	Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
3.5.	Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	44
	ГЛАВА 4. Производная и дифференциал функции . . . . . .	45
4.1.	Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	45
4.2.	Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
4.3.	Физический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	48
4.4.	Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	48
4.5.	Производная суммы, разности, произведения и частного функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
4.6.	Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
4.7.	Производная обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	50
4.8.	Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	50
4.9.	Примеры отыскания производных сложных функций . . . . . . . . . .	52
4.10.	Производная функции, заданной параметрически . . . . . . . . . . . . .	54
4.11.	Производная неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
4.12.	Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
4.13.	Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	56
4.14.	Определение дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	57
4.15.	Основные теоремы о дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	58
4.16.	Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	60
4.17.	Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . . . . . . .	61
4.18.	Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей . . . . . . . . .	63
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	70
	ГЛАВА 5. Исследование функций и построение графиков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	72
5.1.	Возрастание и убывание функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	72
5.2.	Максимум и минимум функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	74
5.3.	Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. . . . . . .	77
5.4.	Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба . . . .	78
5.5.	Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	80
5.6.	Общая схема исследования функции и построение графика . . . . .	83
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	86
	ГЛАВА 6. Неопределенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	88
6.1.	Первообразная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	88
6.2.	Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	88
6.3.	Свойства неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90
6.4.	Таблица основных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90
6.5.	Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	92
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	99
	Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	101