71

Глава 4 производная и дифференциал функции

Раздел математики, в котором изучается понятие производной и дифференциала функции, а также способы их применения к исследованию функций, называют дифференциальным исчислением.

4.1. Определение производной

К понятию производной приходят при изучении скорости изменения функции.

Пусть функция определена и непрерывна на некотором интервале.

Проведем следующие операции:

− аргументу дадим приращение, такое что;

− найдем соответствующее приращение функции:

;

− составим отношение:

;

− найдем предел этого отношения при :

.

Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают одним из символов:,,,,.

Определение.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Записывают:

или .

Производная функции есть некоторая функция,произведенная из данной функции.

Определение.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Определение.

Функция, имеющая производную в каждой точке интервала , называетсядифференцируемой на этом интервале.

Примеры

1. Найти производную функции .

1) ;

2)

;

3) ;

4) ;

.

2. Найти производную функции .

1) ;

2)

;

3) ;

;

.

4.2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции , непрерывной на интервале(рис.4.1). На кривойвыберем произвольную точку. Если аргументух дать приращение , то на графике новому значению аргументабудет соответствовать точка. Проведем через точкиМ и секущую и пусть φ − угол, который секущаяМ образует с остью Ох.

Рис. 4.1

Из получаем

.

Пусть , тогда точка, а секущаяМбудет стремиться занять положение касательной МТ, проходящей через точку М.

Определение.

Касательной к кривой в точкеМ называется прямая МТ, являющаяся предельным положением секущей М,при стремлении точки к точке М по кривой (или при ).

Значит, при , где− угол наклона касательнойМТ к оси Ох. Тогда

.

Следовательно,

.

Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в соответствующей точке, с положительным направлением оси Ох.

Отметим, что понятие производной дает возможность написать уравнение касательной к графику функции.

Уравнение касательной − это уравнение прямой, проходящей через заданную точку: , угловой коэффициент которой равен.

Следовательно, уравнение касательной будет

или

.

Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифферинцируема в этой точке.

4.3. Физический смысл производной

Рассмотрим функцию, аргументом которой является время t. Если функция − пройденный путь , тогда отношение

представляет собой среднюю скорость движения за промежуток времени . Предел этого отношения (производная по определению)

есть скорость движения в момент времени t или мгновенная скорость движения.

В общем случае, если функция описывает какой-либо физический процесс, то отношение

−средняя скорость изменения у относительно х,

−мгновенная скорость изменения у.

Таким образом, производная есть скорость протекания процесса.