Волновая функция и её статистический смысл.

Сравним дифракцию света и дифракцию электронов, дифракционная картина световых волн характеризуется те, что в результате наложения дифрагирующих волн в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний а интенсивность зависит от А².

По фотонной теории интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины, следовательно число фотонов в данной точке картины задаётся квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона А²определяют вероятность попадания в данную точку.

Дифракция микрочастиц также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных по разным направлениям.

Наличие максимумов в дифракционной картине по волновой теории означает, что это направление соответствует бОльшей интенсивности волн де Бройля, с другой стороны эта интенсивность определяет число частиц, попавших в данную точку, Т.о., дифракционная картина для микрочастиц является проявлением вероятной закономерности. т.е. частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая. Можно ли считать волны де Бройля -волнами вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в в различных (0) меняется по волновому закону.

I~A²

Если считать волны де Бройля волнами вероятности, то получается, что обнаружить частицу в некоторых точках пространства, т.е. вероятность будет отрицательной . Вероятность не может быть меньше нуля- это не имеет физического смысла.

В 1926 году Макс Борн предложил, что по волновому закону меняется не вероятность , а величина, названная амплитудой вероятности

Ψ(x,y,z)

Эту функцию он назвал “пси-функцией” или волновой функцией. Она может быть действительной величиной, а может быть и мнимой или комплексной и тогда вероятность будет равна квадрату модуля пси-функции.

ω=|Ψ(x,y,z)|²

Вероятность нахождения частицы в данном объёме пространства ∆ω- это квадрат модуля пси-функции, умноженный на объём:

∆ω=|Ψ|²dV

|Ψ|²=dω/dV

|Ψ|²имеет физический смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность того, что частица находится в единичном объёме с координатамиx,y,z, т.е. физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат её модуля, которым задаётся интенсивность волн де Бройля. Если за объёмVпринять объём всего пространства, то необходимо волновую функцию нормировать так, чтобы вероятность достоверного события была равна единице:

²V=1

Пси-функция должна быть нормируема, а также должна удовлетворять следующим условиям:

1)должна быть конечна, так как вероятность не может быть больше 1

2)должна быть однозначна, так как вероятность не может быть неоднозначна

3)должна быть непрерывна, так как вероятность не может изменяться скачком

Уравнение Шредингера.

Ур-е Шр. было придумано.

Статистический смысл волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к вывожу, что уравнение движения частиц в квантовой механике должно быть волновым.

²/(2m)·ΔΨ+U(x,y,z,t)Ψ(x,y,z,t)=iЋ·(∂Ψ(x,y,z,t)/∂t (1)

Это ур-е называется временным уравнением Шредингера.

ΔΨ=∂²Ψ/∂x²+∂Ψ²/∂y²+∂²Ψ/∂z²- оператор Лапласа

U(x,y,z,t)-потенциальная энергия частицы, находящейся в силовом поле

Ψ(x,y,z,t)-искомая волновая функция

Это уравнение справедливо для любых частиц, движущихся со скоростью v<<c.

Это уравнение дополняется следующими условиями:

1. пси-функция конечна непрерывна однозначна

2. ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z, ∂Ψ/∂t должны быть непрерывны тоже

3. Квадрат модуля пси-²dV=1функции должен быть интегрируем и должно выполняться условие нормировки

Если пси-функция не зависит от времени, то можно получить стационарное Ур-е Шр.

Перейдём от временного равнения к стационарному и допустим, что есть комплексное число.

в стационарном Ур-и Шр. пси-функция не зависит от времени, а только от координат x,y,z? тогда потенциальная энергия зависит только от координаты.

Решение общего(временного) уравнения может быть представлено в виде произведения двух функций и уравнения плоской волны , которой сопоставима волна де Бройля; может быть написано:

ξ(x,t)=A·Sin(ωt-kx)=A·exp(i(wt-kx))

ω=E/Ћ; k=/Ћ

Ψ=A·exp(-i/Ћ(Et-px))

В квантовой механике показатель еxpвсегда берут со знаком “-”.

Уравнение Шредингера можно упростить исключением времени; т.е. найти уравнение Шредингера для стационарного состояния с фиксированными значениями энергии, это возможно. если силовое поле, в котором движется частица .Тогда решение Ур-я Шр. может быть представлено в в виде функций, одна из которых является только функцией координат, а другая только функцией времени.

Ψ(x,y,z,t)= Ψ(x,y,z,t)·еxp(-Et/Ћ) (2), где Е- полная энергия частицы. Если уравнение (2) после взятия второй производной подставить в уравнение (1), то после сокращения членаEt/Ћ мы получим стационарное уравнение Шредингера:

ΔΨ=(2m/Ћ)(E-U)Ψ=0 (3), гдеU- потенциальная энергия частицы в поле.

Движение свободной частицы.

Свободная частица-частица, на которую не действуют силы, и в этом случае, её потенциальная энергия принимается равной нулю.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси x. Из уравнения (3) исключим потенциальную энергию, и тогдаΔпревращается во вторую производную:

d²Ψ/dx²+(2m/Ћ²)·EΨ=0

Ψ²+k²Ψ=0, k2=(2m/Ћ²)·E

Решение этого уравнения может быть представлено в виде:

Ψ=A·exp(kx); E=κ²Ћ²/2m=p²/2m; p=kЋ

Получается, что энергия Е, не квантованная величина и ничем не отличается от энергии неклассической частицы и может принимать любые положительные значения.