Линейный квантовый гармонический осциллятор.

Осциллятор представляет собой материальную точку, которая может совершать гармонические колебания в одном направлении под действием квазиупругой силы F= -βx.

β-отклонение от положения равновесия

F= -dU/dx

dU= βxdx; U=(1/2)βx²

Период тоже умели находить:

T=2π,где ω= - из уравнения гармонических колебаний.

Когда рассматриваем молекулу как осциллятор массу mзаменяем на приведенную массуμ:

μ=m₁·m₂/(m₁+m₂)

ω=; β=μω²

В квантовом осцилляторе в отличии от классического осциллятора масса очень мала и область движения очень мала, тогда пользуясь формулой для потенциальной энергии:

U(x)=(1/2)· μω²x²

Напишем уравнение Шредингера:

Ψ”(x)+(2μ/Ћ²)·(E-(1/2)· μω²x²)Ψ(x)=0 (*)

Обозначим через α=(2μ/Ћ²)·Eи черезγ=ωμ/Ћ, тогда:

Тогда (*) перепишется

Ψ”(x)+(α-γ²x²)Ψ(x)=0 (!)

Обозначим через ξ=x, тогдаγ²x²= ξ² γ

Перейдём к новой переменной ξдля этого сделаем такое преобразование:

(dΨ(x)/dξ)·(dξ/dx)=ψ’(ξ)

Тогда можно сделать ещё одно преобразование:

Ψ”(x)=γΨ”(ξ)-это подставим в (!):

γΨ”(ξ)+(α-γξ²)Ψ(ξ)=0

Ψ”(ξ)+(α/γ-ξ²)Ψ(ξ)=0 -это диф. ур-е имеет решение только при значениях

α/γ=2n+1, гдеn=0,1,2,…..

тогда выражение для колебательной энергии будет равняться:

E_n=Ћω(n+1/2), т.е. приn=0 частица всегда обладает энергиейE₀=Ћω/2 и это не просто так

Даже при абсолютном нуле частицы не могут покоиться, а колеблются с , т.е. если есть молекула, у которой есть колебательные степени свободы, то при очень низких температурах всегда будет колебательное движение, а поступательного может не быть.

E_n- для квантового гармонического осциллятора, гдеn-квантовое число гармонического осциллятора.

Существование нулевой энергии – есть чисто квантовый эффект, и является следствием соотношения неопределённостей. Потенциальная и кинетическая энергия не могут одновременно обращаться в ноль, потому что в противном случае обращались в нуль импульс и координата, что запрещено соотношением неопределённостей.

Из графика видно, что существует возможность, отличная от нуля обнаружить молекулу как гармонический осциллятор в области, заходящую за классическую параболу( это классически запрещенная область). Энергетический спектр гармонического осциллятора дискретен:E=Ћω(n+1/2) и для квантового гармонического осциллятора существует правило отбора, согласно которому∆n=±1 , и это значит, что все энергетические переходы в квантовом гармоническом осцилляторе осуществляются только между соседними уровнями.

Потенциал Морзе.

Колебательный энергетический спектр ангармонического осциллятора.

Модель ангармонического осциллятора описывает колебания двухатомной молекулы только при очень малых смещениях x=r-r₀. Согласно модели г.о. с ростомx,FиUнеограниченно растут(U=(1/2)·βx², что не может быть в реальности, потому что при смещении молекулы могут расходиться. Это означает, что сила упругости должна описываться более сложной формой кривой, чем парабола. В общем случае колебания молекулы должны быть ангармоническими, а потенциальная энергия должна иметь более сложную зависимость от координаты. Один из самых возможных способов описания потенциальной энергии ангармонического осциллятора(АГО) является потенциал Морзе, по которому:U(r) =U₀[1-exp(-[α(r-r₀)]²

U₀-толщина потенциальной ямы.

r-текущее расстояние между двумя атомами

r₀-расстояние между атомами в момент взаимодействия.

α-коэффициент, характеризующий упругую часть взаимодействия

В п.М. за ноль потенциальной энергии принимается энергия атомов, находящихся на расстоянии .

В случае малых отклонений функция Морзе переходит в обычную параболу, т.е. даёт простую квадратичную зависимость от. Для получения собственных значений колебательной энергии АГО следует в Ур-е Шр. подставить п.М. и мы получаем:

Ψ”(r)+(2μ/Ћ2)(E-U(r))·Ψ(r)=0, где

μ–приведённая масса двухатомной молекулыμ=m₁·m₂/(m₁+m₂)

Решение этого уравнения для ГOдаёт значение колебательной энергии:

E_ν=Ћω[(ν+1/2)-γ(ν+1/2)²], где

ω-собственная частота колебаний молекулы,

ν-колебательное квантовое число

γ-коэффициент ангармоничности

Правило отбора для АГО не существует, и поэтому возможны переходы между любыми уровнями.

γ<<1

Для двух соседних колебательных уровней:

∆E_ν+1,ν=E _ν+1-E _ν=Ћω[1-2γ(ν+1)]

С ростом ν расстояние между соседними уровнями уменьшается и при некоторой величине ν_maxэто расстояние обращается в ноль.

Найдём ν_max:

∆E_ν+1,ν =0

ν_max=1/2γ-1≈1/2γ

этому максимальному колебательному числу соответствует максимальная энергия, которую можно получить, если подставить полученное значение в формулу для энергии E _ν:

E_max=Ћω/4γ

Чисто колебательный спектр излучения молекул состоит из системы линий, частоты излучения ω которых:

Ћω_излуч. = ∆E_ν+1,ν; ω_излуч.=ω(1-2γ(ν+1)), где

ω-собственная частота колебаний молекулы.

Энергия диссоциации равна той энергии, которую необходимо совершить молекуле, находящейся в связанном состоянии, чтобы она диссоциировала на атомы.

D= Ћω/4γ-Ћω/2