Уравнение Шредингера для жёсткого ротатора.

Жёсткий ротатор (ЖР)- материальная точка, которая вращается в пространстве вокруг неподвижного центра, находясь от оси на неизменном расстоянии. В частности эта точка может двигаться по окружности. Система- двухатомная молекула- тоже ЖР.

μ=m₁·m₂/(m₁+m₂)

d-межъядерное расстояние

Эта система характеризуется моментом импульса: ||=μd²ω,

где μd²–момент инерции относительно точки.

Если m₁иm₂, а также расстояние между нимиdявляются величинами атомных размеров, то движение ЖР должно описываться квантовыми законами, т.е. Ур-ем Шр. В квантовой механике одновременно могут определены только 2 величины:L²иL_z (проекция момента импульса на выделенное направление), 2 других проекцииL_yиL_xне определены, что следует из соотношения неопределённостей. Найдём собственные значения проекций импульса, для этого введём сферические координаты:

r,ν,φ

Δ(x,y,z)Ψ+(2m/Ћ²)(E-U(x,y,z))Ψ(x,y,z)=0

Для перехода в сферические координаты:

x,y,z→ r,ν,φ

x=r·Sinν·Cosφ

y=r·Sinν·Sinφ

z=r·Cosν

Уравнение Шр. в сферических координатах:

(1/r²)[r²(∂/∂r)(r²∂Ψ/∂r)+(∂/∂ν)(Sinν∂Ψ/∂ν)+(1/sin²ν)((∂²Ψ/∂φ²)]+(2μ/Ћ²)(E-U(r))Ψ(r,ν,φ)=0

Для ЖР выполняется ряд условий:

1. т.к. ротатор жёсткий, то r=d

2. т.к. ||=constи существует определённое значениеL_z, то ν=const→∂Ψ/∂ν=0

3. потенциальная энергия из-за отсутствия внешнего силового поля может быть принята равной нулю U=const→ U=0

Т.о., при выполнении трёх этих условий Ур-е Шр. сильно упрощается и получается:

(1/r²·sin²ν)(∂²Ψ/∂φ²)+(2μ/Ћ²)EΨ(φ)=0

E=L²/2μd² (E=p²/2m)

L_z=L·cos(90º-ν)=L·Sinν

(∂²Ψ/∂φ²)+ (2μ/Ћ²)( L²/2μd²)·r²·Sin²νΨ(φ)=0

L²Sin²ν=L_z²,r=d

Ψ”+ (L_z²/Ћ²)Ψ(φ)=0

Полученное уравнение позволяет определить собственные значения проекций момента импульса, и это уравнение Ψ”+K²Ψ(φ)=0, позволяет искать решение в следующем виде:

Ψ(φ)=c₁·exp(ikφ)+c₂·exp(-ikφ),k=L_z/Ћ;

Первый член этого уравнения c₁·exp(ikφ) описывает волну, бегущую в “+” направлении угла, второй членc₂·exp(-ikφ)- волну, бегущую в противоположном направлении.

Мы можем ограничиться первым членом, потому что это не изменяет сущности решения:

Ψ(φ)=c₁·exp(i(L_z/Ћ)φ)

Из соображений однозначности пси-функции следует, что exp(i(L_z/Ћ)φ) должна быть равнаexp(i(L_z/Ћ)(φ+2π)

Отсюда мы можем получить, что exp(i(L_z/Ћ)2π)=1

используем формулу Эйлера для записи показательной функции exp(i(L_z/Ћ)2π)=cos(L_z/Ћ)2π+i·Sin(L_z/Ћ)2π

Отсюда мы можем найти, что cos(L_z/Ћ)2π=1

Это означает, что (L_z/Ћ)2π=2πm;

L_z=mЋ, гдеm–квантовое число. которое может принимать значения 0;±1;±2.

Это означает, что проекция момента импульса на заданное направление квантуется, при этом Ψ(φ)=C·exp(imφ)

Постоянную Cможно найти из условия нормировки пси-функции:

²dφ=1

c2·2π=1;c=

Ψ(φ)= ·exp(imφ)

Квантование момента импульса.

Покажем, что момент импульса также квантуется. Мы покажем это , не решая Ур-е Шр.:

L²=L_x²+L_y²+L_z²-в классической физике

В квантовой физике в силу изотропности среды по всем направлениям можно написать, что среднее значение < L²>=3L_z², при этом среднем значении физические величины должны отождествляться со значением , полученным в результате измеренияL²=<L²>=3L_z², тогдаL²=<m²Ћ²> , гдеm²Ћ²–квадрат проекции момента импульса на ось .

Тогда это выражение можно записать в следующем виде:

L²=<m²Ћ²> =(1/(2γ+1))², где

γ-максимальное значение квантового числа m, а 2γ+1- это число возможных значений квантового числаm, тогда:

²=2²=2γ(γ+1)(2γ+1)/6=(1/3)γ(γ+1)(2γ+1), тогда получаем:

L²_γ=3Ћ²γ(γ+1)(2γ+1)/3(2γ+1)=Ћ²·γ(γ+1)

L_γ= Ћ, где γ=0,1,2,3,…

γ-вращательное квантовое число.