Математичні моделі у фінансах / Рядно О.А. та ін. Математичні моделі у фінансах

- обмеження загальної суми кредитів

х1 х2 х3 х4 х5 s ,

- обмеження на сільськогосподарські та комерційні кредити

	х4 х5			0,01 s ,
- обмеження на придбання житлa
x3		0,01 (х1 х2 х3)				,
- обмеження на безнадійні кредити
p1х1 p2х2 p3х3 p4х4 p5х5					х1 х2 х3 х4 х5
- обмеження невід’ємності
х1 0,	х2 0,		х3 0,		х4 0,	х5 0.

Задача раціональної комплексної забудови ділянки необробленої землі.

Будівельна фірма Budivel and sun’s виграла тендер на забудову ділянки необробленої землі загальною площею s у.о.п. з невеликою затокою річки Самари. В минулому освоєння цієї території велося нерегулярно і хаотично. На ділянці збудовано багато дачних будиночків, але без каналізації і інтенсивно використовуються септичні танки (великі ємкості для зберігання побутових відходів). На сьогодні деякі з цих ємкостей протікають і з’явилися проблеми щодо забруднення води у річці. Органи місцевого самоврядування розробили суворі обмежувальні вимоги до забудовників:

-дозволяється будувати будинки тільки для однієї, двох або

трьох сімей, причому доля будинків для однієї сім’ї повинна бути не менше, ніж процентів від усіх збудованих;

-обмежується кількість танків для відходів: мінімальна

теріторія,		що	відводиться для розміщення одного танку складає
1	, 2	, 3	у.о.п. для одного доміка, призначенного відповідно

для однієї, двох або трьох сімей;

-рекреаційна зона відводиться за нормою не менш ніж с у.о.п. на L сімей;

-не менше, ніж процентів всієї території необхідно відвести під прокладання доріг та побудову допоміжних споруд.

31

Проектні дослідження показали, що для початку будівництва водогону необхідне фінансування в µ у.г.о. і навіть у піковий період водогін зможе забезпечити не більше, ніж V літрів води у день. Необхідні для формування математичної моделі інші данні, наведені в табл. 2.4. Фірма планує здавати свої будинки в оренду і отримати чистий прибуток за здачу одного будинку, розміри якого приведені в табл. 2.4.

					Таблиця 2.4
Тип будинку		На одну	На дві	На три	Рекреаційна
		сім’ю	сім’ї	сім’ї	зона
Позначення		х1	х2	х3	х4
змінної
кількості		(будинків	(будинків	(будинків	(у.о.п.)
Витрати	на	1	2	3	4
підключення
водогону (у.г.о)
Норма витрат		1	2	3	4
води (л/день)
Запланований		1	2		---
чистий				3
прибуток (у.г.о)

Необхідно визначити максимальне значення цільової функції доходу:

z = 1 x1+ 2 x2+ 3 x3

за умов:

- обмеження на загальну площу земельної ділянки для житлового будівництва

1х1 2х2 3х3 с х4

(1 0.01 ) s ,

- обмеження на будівництво будинків більш ніж на одну сім’ю

х1	0,01 (х1 х2 х3) ,

- обмеження щодо відведення рекреаційної зони

сLx4	(х1 2х2 3х3) ,

32

- обмеження щодо коштів на будівництво водогону

1х1 2х2 3х3 4х4				,
- обмеження на споживання води у піковий період
1х1 2х2 3х3 4х4 V,
- обмеження невід’ємності
х1 0,	х2 0,	х3 0,	х4 0.

Розглянуті моделі виробничих задач виду (2.1) - (2.3) можна звести до канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі

обмежень (2.2) всі коефіцієнти bi, i 1,m невід’ємні , а всі обмеження приведені до рівностей. У випадку коли, наприклад,

коефіцієнт bi є від’ємний, то і-те обмеження помножимо на (-1) і

дістанемо у правій частині додатнє значення. Коли					і-те обмеження
має вигляд нерівності ai1x1 ai2x2 ...				ainxn		bi, то,
за рахунок введення в останню додаткової змінної xn 1 0						отримаємо
рівність:	ai1x1 ai2x2	...	ainxn xn 1			bi .	Якщо
ж к-те	обмеження має	вигляд	нерівності	протилежного			змісту:

aki1x1 ak2x2 ...	aknxn bk , то		його	зводять до
рівності, віднімаючи від лівої частини додаткову змінну				xn 2	0,
тобто aki1x1 ak2x2	...	aknxn xn 2		bk .

Доведено, що така заміна нерівностей рівняннями не змінює розв’язку початкової задачі. Таким чином, всі розглянуті нами задачі можна звести до канонічної форми і застосувати для їх розв’язку відомі ефективні алгоритми [9, 10, 25]. Приведені вище математичні моделі лінійного програмування, їх аналіз та розв’язки слід розглядати як шлях удосконалення процесу прийняття рішення керівництвом організації, але не заміну їх власного досвіду. На завершальній стадії аналізу керівництво організації повинно взяти на себе відповідальність за формування моделі і за ті рішення, які базуються на отриманій завдяки їм інформації. Важливо, що при формулюванні моделі дослідник повинен чітко визначити мету і в явній формі виразити всі обмеження.

33

xj 0,

2.2. Матриця технологічних засобів і загальна модель планування виробництва

Питання найкращої організації виробництва є найважливішим елементом процесу прийняття рішення підприємцем.

Для багатьох видів продукції і використанні при цьому багатьох видів ресурсів витрати і цільова функція (прибуток, дохід) представлені лінійними функціями керованих змінних, які дозволяють використовувати ефективний та програмно реалізований апарат лінійного програмування.

Розглянемо загальну задачу планування виробництва. Нехай маємо деякий набір технологічних засобів ( j 1,....n), кожен з яких

використовує і-й ресурс у кількості aij (i 1,...,r)та виробляє k-й

вид продукції у кількості kj (k 1,...,q). Керованими параметрами є інтенсивність використання кожного технологічного засобу

причому хj можуть бути і не цілими, оскільки, наприклад, якщо х1=2,5, то за подвійний цикл виробництва буде реалізовано 5-кратне використання першого засобу виробництва. З цих причин aij, kj

можуть не бути цілими, і це не означає, що фірма буде випускати 1/3 машини – лише виникнуть за цикл виробництва деякі запаси, які будуть реалізовані, та буде випущена повністю виготовлена продукція.

На початку аналізу, враховуючи, що прийнятий план

використання технологічних засобів	X (x1, x2,...,xn), бачимо, що
для цього плану наступна кількість і-го виду ресурсів:
n
zi aijxj ,	i 1,...,r
j 1

та виготовлено k-го виду продукції:

	n
wk	kj x j ,	k 1,..., q.
	j 1
Якщо загальна кількість ресурсів і-го виду, яка може бути
використана, дорівнює	bi , то маємо обмеження:
	zi bi	i 1,...,r,	(2.5)
а за наявністю вимог на випуск k-го виду продукції у кількості
не менше b~k , має виконуватися умова:
	wk b~k ,	k 1,...,q.	(2.6)

34

Останнім обмеженням можна надати більш загальну форму,

якщо		~
~	ar kj ,		br k ,		k 1,...,q,	(ar kj ,br k		0),
akj		bk
	n				n
	ar kj x j		br k	або ar kj x j			br k ,
	k 1				j 1
тобто усі умови (2.5) та (2.6) набувають однакового вигляду:
		n
		aijxj bi ,			i 1,2,...,r q.			(2.7)
		j 1

Тому доцільно кожен технологічний засіб (j=1, …, n ) описувати

m-вимірним вектором, Aj (aij ), i 1,...,m, m r q, перші r координат якого (додатні) – потреба у ресурсах, а наступні q

координат (від’ємні) дають (за абсолютною величиною) кількість виготовленої продукції відповідного виду. Відповідно вводиться m- вимірний вектор B.

Всі обмеження за ресурсами та за випуском продукції (2.7) можна записати у матричному вигляді:

AX B,

X 0.

Якщо j-й технологічний засіб дає прибуток (дохід) cj, то максимальний сумарний прибуток формалізується вимогою:

n
f CX cj xj	max	(2.8)
j 1

та маємо задачу лінійного програмування ()-().
Якщо вимога мінімального випуску усіх виготовлених виробів –
відсутня, тобто b~j br i 0,	i 1,...,q, то відповідні нерівності

задовольняються за будь-яких додатних хj і їх можна не враховувати при розв’язанні задачі. Так само можна не враховувати обмеження на ті ресурси, запас яких досить великий, свідомо не вичерпується за будь-яких можливих планів виробництва (bi , i r).

2.3.Асортиментні умови імодифікація моделі

Розглянута модель планування виробництва, яка орієнтована на максимальний прибуток, володіє тим недоліком, що не враховує пропорцій випуску продукції (крім умови забезпечення замовлення). Такі пропорції визначаються як структурою попиту, так і технологією використання продукції.

35

Ці пропорції можуть бути задані «асортиментним вектором» A (a1,a2,...,aq ) та погоджений з ним випуск повинен задовольняти умови:

	w1 :w2 :...:wq a1 :a2 :...:aq				(2.9)
або		wi	const,	i 1,2,...,q.
		ai

Порушення цієї умови призведе до залишків на складах, зменшення прибутку та зростання витрат.

Тому виникає нова мета планування виробництва – максимальне число асортиментних наборів, погоджених комплектів продукції.

Оскільки точне виконання співвідношень (2.9) за умови (2.7) не завжди можливе, при деякому виборі плану виробництва Х кількість виготовлених виробів k-го виду дорівнює:

	n	wk
	wk ( br k xj ),		μk,	(μk μ),
	j 1	ak

і кількість асортиментних наборів визначається мінімальною величиною чисел k :

μ min wk ,

k 1,...,q ak

а число «зайвих» виробів за кожним видом дорівнює:

wk ak 0,	k 1,...,q.	(2.10)
Якщо якийсь вид продукції можна випустити у будь-якій
кількості, то можна формально	прийняти	ak 0. При цьому

k не впливає на , а умова (2.10) має тривіальний вид wk 0

і не залежить від . Максимум відповідає мінімуму усіх «зайвих»

виробів, тому, позначивши х0, матимемо задачу лінійного програмування, яка визначає максимальне число асортиментних наборів х0 та план виробництва X (x1,...,xn)при заданих ресурсах та величині замовлення:

AX B,				X 0;
n
ak x0		ar kj		xj 0,	k 1,...,q;	(2.11)
j 1

x0 max.

36

При цьому зберігається і бажання			максимізувати		прибуток
( f cx max).	З цією	метою можна	замінити	другу цільову
функцію вимогою	f f0	та розв’язати	задачу	(2.11)	за цим
обмеженням при різних значеннях f0( f0 f *), де				f *-	розв’язок

задачі (2.7)-(2.8)), зіставляючи ефект зменшення прибутку з ефектом зростання числа асортиментних наборів х0.

2.4. Двоїстість та її використання

Потужним математичним апаратом обґрунтування структури виробництва є теорія двоїстості. Вона дає змогу насамперед визначати статус ресурсів та інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно зміни запасів дефіцитних ресурсів. За умов ринкової економіки ціни на ресурси можуть змінюватися у доволі широких межах. Крім цього, постачальники через об’єктивні обставини можуть не виконати попередніх домовленостей. Тому аналіз ринку ресурсів у передплановому періоді має чимале значення. Важливою є проблема заміни одного дефіцитного ресурсу іншим.

Нагадаємо основні положення теорії двоїстості. З кожною задачею лінійного програмування тісно пов'язана інша лінійна задача, яка називається двоїстою. Первісна задача називається початковою. Зв'язок початкової і двоїстої задач полягає, головним чином, у тому, що розв'язок однієї з них може бути отриманий безпосередньо з розв'язку іншої.

Як приклад, розглянемо задачу використання ресурсів. Нехай

підприємство має		m видів ресурсів	Si у кількості bi i 1,2,...,m
одиниць, з	яких	виробляється n	видів продукції	Pj.	Для
виробництва	одиниці j-го вигляду		продукції витрачається		aij

одиниць i-го виду ресурсу, а вартість вказаної одиниці продукції складає сj грошових одиниць. Потрібно скласти план випуску продукції, що забезпечує її максимальний випуск, у вартісному виразі.

Позначимо через xj j 1, 2,..., п кількість одиниць j-го

виду продукції, запланованої для виробництва. Тоді початкову задачу лінійного програмування можна сформулювати у вигляді системи

(2.1) - (2.3).

Припустимо, що деяка організація вирішила закупити ресурси S1,S2,…,Sm певного підприємства і необхідно встановити оптимальні ціни у1,у2,...,уm на ці ресурси. Очевидно, що організація, яка купує, зацікавлена у тому, щоб витрати f на всі ресурси, закуплені у

37

кількостях b1,b2,...,bm за цінами y1, y2,		, ym відповідно
були мінімальні, тобто:
f b1y1 b2 y2	,,, bm ym	min.

З іншого боку, підприємство, що продає ресурси, зацікавлене в тому, щоб отриманий прибуток був не меншим від тієї суми, яку воно може одержати при переробці ресурсів у готову продукцію. На

виготовлення	одиниці	продукції	P1 витрачається	a11 одиниць
ресурсу S1,	a21 одиниць ресурсу		S2, ..., ai1 одиниць ресурсу Si, ...,
аm1 одиниць ресурсу		S m за ціною відповідно		у1,у2,...,уі,..., уm.

Тому для задоволення вимог продавця витрати на ресурси,

використані при виготовленні одиниці продукції P1 ,					повинні бути не
меншими від її ціни с1, тобто:
	a11у1 a21у2		...	am1ym		c1 . (2.12)
Аналогічно можна скласти обмеження у вигляді нерівностей за
кожним видом продукції Р2,Р3,...,Рn .
Отже,	двоїсту задачу можна сформулювати так:
знайти	вектор Y y1,	y2,	,	ym ,	що	задовольняє
обмеження:
	a11у1 a21у2	...	am1ym		c1,
	a12у1 a22у2	...	am2ym		c2,	(2.13)
	..............................................
	a1nу1 a2nу2	...	amnym		cn;
	y1 0, y2 0,		...	ym 0		(2.14)

і дає мінімальне значення лінійній функції:

f b1y1 b2 y2 ... bm ym .

(2.15)

Для економістів розглянуті початкова і двоїста задачі можуть бути інтерпретовані так.

Початкова

xj j 1,2,...,n

сj ( j 1,2,...,n)

задача (2.1)-(2.3). Скільки і якої продукції необхідно виробити, щоб при заданій вартості одиниці продукції і запасах наявних ресурсів

38

bi	i 1,2,...,m		максимізувати випуск продукції у вартісному
виразі?
	Двоїста задача (2.12)-(2.14). Якою повинна бути ціна одиниці
кожного з		ресурсів yi (i 1,2,...,m),			щоб	при заданих запасах
ресурсів		bi (і=1,2,...,m)		і величинах	вартості одиниці		продукції
сj	( j 1,2,...,n)		мінімізувати загальну вартість витрат?
	Змінні yi		називають оцінками		або	обліковими,	неявними
цінами.
	Як видно зі сформульованих задач, між їх математичними
моделями		існує тісний		зв'язок. Матриця		А системи	обмежень

початкової задачі є транспонованою матрицею в двоїстій задачі. Коефіцієнти С лінійної функції початкової задачі є вільними членами обмежень двоїстої задачі, а вільні члени B обмежень початкової задачі є коефіцієнтами лінійної функції двоїстої задачі.

Оскільки багато задач лінійного програмування спочатку формулюються у вигляді початкових чи двоїстих задач, то має сенс говорити про пару двоїстих задач лінійного програмування. Пару задач (2.1) - (2.3) і (2.13) - (2.15) будемо називати симетричною, першого типу, тому що система обмежень як початкової, так і двоїстої задачі задається нерівностями, причому на двоїсті змінні накладаються умови невід’ємності. Симетричну пару двоїстих задач будемо відносити до другого типу, якщо у початковій задачі знаходиться мінімум цільової функції. Відповідні формулювання задач у матричному вигляді наведено в табл. 2.5.

			Таблиця 2.5
	Симетричні задачі
1)	Початкова задача		Двоїста задача
	zmax CX;		fmin YB;
	AX B;		YA C.
	X 0.		Y 0.
2)	Початкова задача		Двоїста задача
	zmin CX;		fmax YB;
	AX B;		YA C.
	X 0.		Y 0.

У несиметричних двоїстих задачах для початкової задачі система обмежень задається у вигляді рівностей, а для двоїстої – у

39

вигляді нерівностей, причому в останній задачі змінні можуть бути і від’ємними. Для скорочення записів постановку початкової задачі третього типу та відповідної до неї двоїстої задачі теж домовимося записувати у матричній формі.

Початкова задача:знайти матрицю-стовпець X x1, x2, ..., xnT,

щозадовольняєобмеження:

AX B,

X 0

і максимізує лінійну функцію

z CX .

Двоїста задача: знайти матрицю-рядок:

Y||y1,y2,...,yn||,

яка задовольняє обмеження:

YA C

і мінімізує лінійну функцію f

YВ.

В

обох

задачах

C

c1,c2,...,cn

матриця-рядок,

B

b ,b

,,...b

T

матриця-стовпець,

A

a

матриця

ij

1 2

n

коефіцієнтів системи обмежень.

Аналогічним чином може бути сформульована початкова задача четвертого типу про пошук мінімуму цільової функції і відповідна їй двоїста задача (див. табл. 2.6).

Таблиця 2.6

Несиметричні задачі

3)	Початкова задача	Двоїста задача
	Zmax CX;	fmin YB;
	AX B;	YA C.
	X 0.	Y ,
4)	Початкова задача	Двоїста задача
	zmin CX;	fmax YB;
	AX B;	YA C.
	X 0.	Y ,

40