Математичні моделі у фінансах / Рядно О.А. та ін. Математичні моделі у фінансах

Якщо запас ресурсу 2 збільшиться на 685 ум.од. або зменшиться на 1600 ум.од., то двоїста оцінка y2 5 цього ресурсу залишиться без змін. Тобто виручка та оптимальний план виробництва будуть такими:

76000 zmax 80575

(0; 0; 0; 900; 0; 0;667) X* (0; 0; 571,25; 328,75; 0; 0; 0).

Недефіцитним є третій ресурс. За оптимального плану виробництва буде залишок цього ресурсу в обсязі x7 200 ум.од.

Зменшення цього ресурсу в обсязі до 200 ум.од. не змінить структуру оптимального плану.

2.6. Аналіз коефіцієнтів цільової функції та матриці обмежень

Під впливом різних обставин ціна виробленої на підприємстві одиниці продукції може змінюватися (збільшуватися чи зменшуватися). І тому завжди цікаво і важливо знати, у межах яких змін цін на продукцію кожного виду структура оптимального плану виробництва ще може залишатися такою самою, тобто оптимальною (найкращою) навіть за цих певних змін.

Зміна коефіцієнтів цільової функції призводить лише до зміни оціночного рядка останньої симплексної таблиці. Тому для визначення інтервалів зміни ціни рентабельної продукції немає необхідності розв’язувати нову задачу. Позначимо зміну ціни одиниці рентабельної продукції 3 через c3. Тоді симплексні перетворення матимуть вигляд:

Номер	Базис		Сбаз		65			70			60	120	0	0			0
ітерації											c3
					5/12			-1/6			0	1	1/8	-1/24			0
			120	500
2
			60	400	1/3			5/3			1	0	0	1/6			0
		c3
			0	200	-1/12			-19,6			0	0	-1/8	-7/24			1
	zj c	j	0	84000+	5			10			0	0	15	5			0
				400 c3	+	1	c3		5	c3					1	c3
					3			3						6

51

Згідно з умовою оптимальності плану, маємо

	1				c3
5							0
	3							c3 15
	5									c3 6 54 c3
10						c3 0		c3	6
	3								30
	1				c3			c3
5							0
	6

Отже, ціна одиниці продукції виду С може необмежено збільшуватися чи зменшуватися на 6 ум. од. і бути в межах від 54 ум. од. до , але оптимальним планом виробництва продукції залишається:

X*=(0; 0;400; 500).

	Для			базисної			невідомої					х4			інтервал				зміни			коефіцієнта							c4
розраховується аналогічно:
	Номер		Базис			Сбаз
										65			70				60		120	0					0				0
	ітерації
																		c4
						120	500	5/12					-1/6				0		1	1/8				-1/24					0
						+
						c4
						60	400			1/3			5/3				1		0	0					1/6				0
	2					0	200	-1/12				-19,6					0		0	-1/8				-7/24					1
			zj	cj		0	840	5 +					10				0		0	15					5				0
							00+	5		c			1		c					1		c			1		c
							500				4					4							4
								12					6							8					24

			5
5+						c4		0
	12									c4
				1							12
10						c	4	0			60	12 c4 60
			6
										c4
			1							c4	120	108 c4	180
15						c	4	0
			8								120
										c4
			1
						c4		0
5

24

52

Якщо за інших однакових умов ціна одиниці продукції 4 зменшиться до 108 ум. од. або збільшиться до 180 ум.од., то визначений оптимальний план виробництва продукції на підприємстві (X* = (0; 0; 400; 500)) немає необхідності змінювати.

Розглянемо інтервал зміни ціни одиниці нерентабельної продукції. Нехай c1 - зміна коефіцієнта c1. Оскільки x1 – небазисна змінна, то в симплекс-таблиці зміниться лише відповідна їй оцінка z1 c1:

z1 c1 120 5 60 1 0 (65 c1)=5 c1 0. 12 3

Тобто	c1 5. Це означає, що коли ціна одиниці продукції
виду 1 зросте не більш як		на 5 ум. од., то оптимальним планом
виробництва	продукції на	підприємстві	все одно залишиться
X* (0,0,400,500). Лише		максимальний	дохід зміниться на

zmax с1x1.

Аналогічно розраховується інтервал зміни коефіцієнта c2.

z2 c2 10 c2 0 c2 10.

Зі зростанням ціни одиниці продукції виду 2 не більш як на 10 ум. од. за інших однакових умов оптимальний план виробництва продукції не зміниться, a zmax с2x2.

	Якщо ж коливання ціни продукції вийде за визначені межі, то
план	X* (0,0,400,500) вже не буде оптимальним, і його

необхідно буде поліпшити згідно з алгоритмом симплекс-методу, тобто продовжити розв'язання задачі.

Розглянемо зміни коефіцієнтів матриці системи обмежень задачі aij i 1,m; j 1,n . Ці коефіцієнти характеризують норми витрат

ресурсів на виготовлення одиниці кожного виду продукції і не залежать від впливу випадкових чинників, як, наприклад, рівень цін або обсяги ресурсів.

Розглянемо тільки можливі зміни тих коефіцієнтів, що відповідають небазисним змінним, оскільки зміна значень коефіцієнтів матриці обмежень, що відповідають базисним змінним, приводить до зміни базисної матриці, і здійснити такий аналіз досить складно.

Припустимо, що за умов розглянутого прикладу додатково відомо,

що витрати ресурсів на виготовлення продукції видів 1 та 2

коливаються залежно від використання різних видів устаткування у процесі виробництва продукції. За оптимальним планом виготовлення

53

цих обох видів продукції є нерентабельним, оскільки вартість витрат ресурсів на виробництво їх одиниці продукції перевищує ціну реалізації.

Проведений аналіз двоїстих оцінок, що відповідають змінним x1, x2,

свідчить, що для виготовлення одиниці продукції виду 1 витрати перевищують ціну витрачених ресурсів на 5 ум. од., а для виду 2 - у два рази більше (на 10 ум. од.). Отже, очевидно, що за деяких змін норм витрат ресурсів виробництво продукції виду 1може стати рентабельним. З

попереднього аналізу дефіцитних ресурсів відомо, що найціннішим для виробництва є перший ресурс.

Позначимо через a11 величину зміни норми використання першого ресурсу на виготовлення одиниці продукції першого виду. Тоді симплексні перетворення будуть такими:

Номер	Базис Сбаз
ітерації
												65					70			60							120							0			0			0
					0			4800					4 +		a11			2					2						8*						1			0			0
				0			2400					2					10			6										0				0			1			0
0
				0			1500					1					0			2										1				0			0			1
		zj		cj			0					-65					-70			-60								-120						0			0			0
				120			600					1/2					1/4				1/4						1							1/8			0			0
							1					+1/8 a
							+8 b1					11
1					0			2400						2				0				6*								0					0			1			0
				0			900					1/2					-1/4				7/4						0							-1/8			0			1
		zj		cj			72000					-5					-40				-30						0							15			0			0
												+15 a11
				120			500					5/12					-1/6			0							1							1/8			-1/24			0
												+1/8 a11
				60			400					1/3					5/3			1							0							0			1/6			0
2
				0			200					-1/12					-19,6			0							0							-1/8			-7/24			1
		zj		cj			84000					5					10			0							0							15			5			0
												+15 a11

Для оптимальності плану необхідне виконання в останній симплексній таблиці умови невід'ємності всіх оцінок, тому має виконуватися нерівність:

5 15 a11 0,

звідки a11 13. Тоді 11/3 a11 .

54

A(k)

Отже, лише у разі, якщо тільки до 11/3 ум. од. першого ресурсу буде використовуватися для виробництва одиниці продукції 1 , структура оптимального плану зміниться і, можливо, цей вид продукції стане рентабельним. За всіх інших змін коефіцієнта a11 у межах

11/3 a11 структура оптимального плану буде постійною, а отже,

продукція виду 1 буде нерентабельною.

При дослідженні зміни коефіцієнта, що відповідає базисній змінній чи одночасній зміні кількох коефіцієнтів матриці обмежень, раціональнішим буде розв'язання нової задачі лінійного програмування.

2.7. Конкурентна рівновага (модель Гейла)

Моделі лінійного програмування дозволяють досліджувати не лише управління окремою фірмою, а й процеси конкуренції між декількома фірмами (регіонами, галузями). Розглянемо одну з таких моделей. Нехай технологічні засоби k-ї фірми визначаються матрицею

, можливі фонди ресурсів – вектором B(k).

Якщо фірма використовує ці засоби з інтенсивністю, яка

визначається вектором X (k), а ефективність цих засобів (дохід) визначається вектором C(k) , то «індивідуальна» задача для k-ї фірми має вигляд:

A(k) X (k) B(k),

X (k) 0	,	(2.30)
f (k) C(k)X (k)		max,

(k 1, 2,...,m).

В той же час є ще сукупність деяких ресурсів, виготовлених та спожитих k-ю фірмою за цими технологічними засобами відповідно до матриці G(k) (елементи її можуть бути і від’ємними, якщо відповідний ресурс не споживається, а тільки виробляється ), які передаються фірмами одна одній і є обмеженими у сукупності вектором S, тобто:

G(k) X (k) S ,

(2.31)

k

(S (s1,...,sj ,...,sq ) 0).

55

Якщо вектор цін Р на ці ресурси – заданий (P (p1,..., pj ,..., pq)), то максимізований повний дохід k-ї фірми дорівнює:

~	(k) С(k)Х	(k) PG(k)X(k) max. (2.32)
f

При цьому деякі компоненти другого доданка можуть бути не лише витратами, а й доходами – якщо відповідний ресурс фірмою виготовляється, тобто:

(G(k) X (k))l 0.

Дамо відповідь на запитання, чи існують ціни, при яких розв’язок індивідуальних задач автоматично забезпечує виконання умови (2.31) і як шукати ці «рівноважні» ціни?

Ціни Р та плани виробництва X (k), що задовольняють індивідуальним (2.30) і загальним (2.31) ресурсним обмеженням і максимізують повні індивідуальні доходи (2.32), відповідають конкурентній рівновазі, якщо ціна на всі надлишкові ресурси дорівнює нулю, тобто якщо

Gj(k)X(k) sj , то	pj 0.	(2.33)
k

Оскільки p j 0, то для будь-яких планів виробництва, які не порушують обмеження за загальними ресурсами (2.31):

Р G(k)X(k) РS , k

а за конкурентною рівновагою має місце рівність, або якщо ввести «слабкі» змінні в обмеження за загальними ресурсами

Gj(k)X(k) U S,	U 0,	то P U 0,
k

тобто умова (2.33) – це умова, яка доповнює обмеження (2.31). Цінність цього визначення полягає в тому, що при цінах Р, які задовольняють умовам конкурентної рівноваги (2.33), плани виробництва, що максимізують індивідуальні повні доходи, дають максимум сумарного доходу всіх учасників.

2.8. Динамічні моделі планування фінансів

Сформулюємо модель оптимального багатоперіодного планування інвестицій у різні проекти. Індекс ризику, пов'язаного з реалізацією кожного з проектів, оцінюється експертно за десятибальною шкалою. Кожному проекту відповідає свій заданий індекс ризику.

56

Загальний підхід до побудови моделей у формі лінійного програмування продемонструємо назавданнях 1і 2.

Завдання 1. Акціонерне товариство (АТ) уклало контракт на покупку нового обладнання для виробництва залізобетонних блоків вартістю 750 000 у.г.о. Відповідно до умов контракту 150 000 у.г.о. як аванс необхідно сплатити через 2 місяці, а іншу суму - через 6 місяців, коли устаткування буде встановлено. Щоб розплатитися повністю у зазначений термін, керівництво АТ планує створити цільовий фонд, призначений для інвестицій. Оскільки інвестиційна діяльність принесе додаткову готівку до моменту розрахунку за придбане устаткування, відкласти треба не всю суму в 750 000 у.г.о., а меншу. Скільки саме, залежить від наявних можливостей і правильності організації процесу інвестування. Акціонерне товариство вирішило зосередитися на 4 напрямах (12 можливостях) використання коштів цільового фонду. Дані для завдання фінансового планування наведені в табл. 2.9.

Керівництво АТ ставить перед собою три основні цілі:

1)при даних можливостях інвестування й затвердженого графіка виплат повинна бути розроблена стратегія, яка мінімізує наявну суму грошей, які АТ направляє на оплату обладнання за контрактом;

2)при розробці оптимальної стратегії середній індекс ризику інвестиційних фондів протягом кожного місяця не повинен перевищувати значення 6. Цей показник індексу ризику, як передбачається, відповідає можливостям менеджера фірми з керування проектами;

3)на початку кожного місяця (після того, як зроблені нові інвестиції) середня тривалість погашення інвестиційних фондів не повинна перевищувати 2,5 місяці.

Таблиця 2.9

Напрями	Можливіпочатки	Тривалість
викори-	реалізації	інвестицій-	Відсоток за	Індекс
стання	інвестиційних	ногопроекту,	кредит	ризику
інвестицій	проектів,місяць	місяць
А	1,2,3,4,5,6	1	1,5	1
В	1,3,5	2	3,5	4
С	1,4	3	6,0	9
D	1	6	11	7

Таким чином, серед потенційно реалізованих проектів вибираються найбільш економічно ефективні, при цьому проекти підвищеної ризиковості повинні компенсуватися менш ризиковими, а довгострокові проекти повинні виконуватися одночасно з короткостроковими. Для рішення даного завдання необхідно, по-перше, підготувати й систематизувати наявну вихідну інформацію, а по-друге, побудувати адекватну сформульованим цілям економікоматематичну модель.

57

Позначення в моделі:

Ai - обсяг інвестицій у напрям (проект)А на початку місяця і (і=1,2, ...,6);

Ві-обсягінвестиційу напрям(проект) Внапочаткумісяця і(і= 1,3, 5);

Сі -обсяг інвестицій у напрям (проект) С на початку місяця і (і =1,4);

Dі - обсяг інвестицій у напрям (проект) D на початку місяця і (і= 1);

К - обсяг інвестицій на початку першого місяця.

Мета, на досягнення якої спрямована інвестиційна діяльність АТ, а також необхідні обмеження формалізуються наступними співвідношеннями:

1.Початкова сума інвестицій К повинна бути мінімальною:

К min.

2.Згідно з табл. 2.10 балансові обмеження на структуру інвестицій для кожного місяця мають вигляд:

K-A1-B1-C1-D1=0;

1,015А1 -А2=0; 1,015 А2 +1,0355В1 – А3 -В3 = 150 000 у.г.о.;

1,015 А3 + 1,06 C1 - А4 -С4 = 0; 1,015 А4 +1,035 В3-А5 -В5 = 0; 1,015А5-А6=0;

1,015 А6 +1,035В5 +1,06С4 +1,11D1 = 600000 у.г.о.

3. Обмеження на середньозважені ризики проектів (для кожного місяця):

		А1 4 В1 9 С 1 7 D1			6 5 A1 2 B1 3C 1 D1 0 ;
			A1 B1 C 1 D 1
	А2 4 В1 9С 1 7 D1			6 5 A2 2 B1 3C1 D1 0;
			A2 B1 C1 D1
	А3 4В3 9С1 7D1				6 5A3		2B3 3C1 D1 0;
			A3 B3 C1 D1
А4			4 В3 9С 4 7 D1		6 5	A4	2B3 3C 4 D1 0;
		A4 B3 C 4 D1
А5			4 В5 9С 4 7 D1		6 5	A5	2 B5 3C 4 D1 0;
		A5 B5 C 4 D1
А6			4В5 9С 4 7D1		6 5	A6	2B5 3C 4 D1 0.
		A6 B5 C 4 D1

58

4. Обмеження на середній термін погашення інвестиційного фонду (для кожного місяця):

А1 2В1 3С1 6D1 2,5 1,5A1 0,5B1 0,5C1 3,5D1 0;

A1 B1 C1 D1

А2 В1 2С1 5D1 2,5 1,5A2 1,5B1 0,5C1 2,5D1 0;

A2 B1 C1 D1

А3 2В3 С1 4D1 2,5 1,5A3 0,5B3 1,5C1 1,5D1 0;

A3 B3 C1 D1

А4 2В3 3С4 3D1 2,5 1,5A4 0,5B3 0,5C4 0,5D1 0;

A4 B3 C4 D1

А5 2В5 2С4 2D1 2,5 1,5A5 0,5B5 0,5C4 0,5D1 0;

A5 B5 C4 D1

А6 В5 С4 D1 2,5 1,5A6 0,5B5 1,5C4 1,5D1 0.

A6 B5 C4 D1

Оптимальне рішення, знайдене у MS Excel, має вигляд:

К=683176,44; А1=0; А2=0; А3=2672,49; А4=7667,67; А5=0; А6=0; В1=461836,6; В3=325328,4; В5=344497,6; С1=221339,8; С4=229665; D1=0.

Таким чином, завдяки отриманому оптимальному розв’язку вдалося забезпечити сплату в термін, обумовлений контрактом, 150000 у.г.о., і замість необхідних для остаточних розрахунків 600000 у.г.о. (750000-150000=600000 у.г.о.) заробити К=683176,44 у.г.о., частка з яких сприяла зменшенню боргових зобов’язань за контрактом (на 13,86%). Оптимальний розв’язок показує, яким ефективним засобом розподіляються інвестиційні ресурси за місяцями реалізації проекту.

59

Питання для самоконтролю

1.Наведіть приклади застосування моделей лінійного програмування в аналізі фінансової діяльності підприємства.

2.Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування.

3.Як визначити, що ресурс є дефіцитним (недефіцитним)?

4.Як визначити, що виробництво продукції є рентабельним (нерентабельним)?

5.Як впливає на оптимальний план введення додаткового обмеження?

6.Як впливає на оптимальний план введення нової змінної?

7.Як визначити статус ресурсів прямої задачі та інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно змін запасів дефіцитних ресурсів?

8.Як визначити план виробництва продукції та зміну доходу підприємства, якщо збільшити (зменшити) обсяг ресурсів?

9.Як визначити рентабельність кожного виду продукції, що виготовляється на підприємстві?

10.Як розрахувати інтервали можливих змін цін на одиницю кожного виду продукції?

11.Як виробник має змінити план виробництва продукції, щоб уникнути втрат, пов’язаних із надвиробництвом відповідного виду продукції?

12.Наведіть приклад динамічної моделі оптимізації інвестицій.

Рекомендована література: [25], [52], [7], [8], [9].

60