- •Содержание
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Комбинаторика. Бином Ньютона Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Полная вероятность Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Формула Байеса Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Непрерывные случайные величины Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Статистические методы обработки данных Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Оценка параметров генеральной совокупности Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Ключи к тестовым заданиям
Тестовые задания для самостоятельного решения
Легкое.Количество четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что каждая цифра в нем встречается только один раз, равно ...
а) 5
б) 120
в) 4
г) 1
д) 24
Средней трудности.Пятизначное число, начинается с 3, заканчивающееся 9 и состоит из различных цифр. Количество чисел такого вида, все цифры которых нечетны, равно…
а) 3!
б)
в)
г)
д) 5!
Трудное.Каждые две из 7 производственных единиц соединены парой лент транспортеров, движущихся в противоположных направлениях. Общее количество лент транспортеров равно…
а)
б)
в)
г) 7!
д) 14
Повышенной трудности.Количество таких шестизначных чисел, которые начинаются с цифры 2, а все остальные их цифры различны и не меньше 5, равно…
а)
б)
в) 4!
г)
д)
Количество правильных дробей, составленных из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 равно…
а)
б)
в)
г)
д)
Полная вероятность Основные определения
Формула условной вероятности. Условной вероятностью событияВпри условии событияАсP(A) > 0 называется величина.
Формула полной вероятности. Если событиеAможет произойти только при условии появления одного из событийH1,H2, …,Hn, образующих полную группу, то имеет место формула.
Примеры решения тестовых заданий
Объем и качество продукции трех фабрик задается таблицей
|
первая |
вторая |
третья |
Объем поставок |
10 % |
20 % |
70 % |
Процент брака |
3 % |
2 % |
5 % |
Вероятность того, выбранное наугад изделие окажется нестандартным, равна…
Обозначим события:
Б = {выбранное наугад изделие бракованное};
H1= {изделие произвела первая фабрика};
H2= {изделие произвела вторая фабрика};
H3= {изделие произвела третья фабрика}.
Из условий задачи известны вероятности
P(H1) = 0,1;
P(H2) = 0,2;
P(H3) = 0,7, а также
P(Б |H1) = 0,03;
P(Б |H2) = 0,02;
P(Б |H3) = 0,05.
Поскольку других производителей у нас нет, и изделие не может быть произведено двумя фабриками одновременно, можно воспользоваться формулой полной вероятности (Определение 3.2.) P(Б) =P(H1)P(Б |H1) +P(H2)P(Б |H2) +P(H3)P(Б |H3) = 0,003 + 0,004 + + 0,035 =. Задачу можно свести к классической схеме. Всего изделийn= 1000, из них 100 произведено первой фабрикой, 200 – второй и 700 – третьей. Считаемm– количество бракованных изделий.m= 3 + 4 + 35 = 42.P(Б) = .
В первой урне белых шаров в три раза больше, чем черных, в остальных девяти белых и черных шаров поровну. Вероятность того, что шар, извлеченный из наугад выбранной урны, окажется черным, равна...
Обозначим события:
Ч = {шар, извлеченный из наугад выбранной урны, оказался черным};
У1= {шар извлечен из первой урны};
Уn= {шар извлечен из урны с номеромn, гдеn= 2, …, 9}.
Известны вероятности P(У1) =P(Уn) = 0,1, а такжеP(Ч | У1) = ¼;P(Ч | Уn) = ½. По формуле полной вероятности (Определение 3.2.)
P(Ч) =P(У1)P(Ч | У1) + + 9P(Уn)P(Ч | Уn) =.
В партии 4 изделия, причем все предположения о количестве нестандартных изделий равновероятны. Вероятность выбрать из партии нестандартное изделие равна…
Введем обозначения: Б = {выбрано нестандартное изделие}; Hn= {в партии имеется ровноnнестандартных изделий, гдеn= 0, …, 4}. По условию задачи («предположения о количестве нестандартных изделий равновероятны»)P(Hn) =. Вычислим условные вероятности события Б.
P(Б |H0) = 0, поскольку если в партии нет бракованных изделий, выбрать бракованное изделие невозможно.
P(Б |H1) = ¼, так как есть один благоприятствующий исход из 4-х.
P(Б |H2) = ½, так как есть уже два благоприятствующих исхода из 4-х.
P(Б |H3) = ¾ и, наконецP(Б |H4) = 1. Воспользуемся теперь формулой полной вероятности (Определение 3.2.), и получимP(Б) =.
В одном стакане одна игральная кость, в другом три. Наугад выбранный стакан переворачивается. Вероятность того, что на выпавших костях в сумме будет 3 очка, равна…
Обозначим за xсумму выпавших очков. Сформулируем две гипотезы:
H1= {выбранный стакан содержит одну кость} и
H3= {выбранный стакан содержит три кости}. По условию задачи («Наугад выбранный стакан»)P(H1) =P(H3) = ½. Если выбранный стакан содержит одну кость, тоP(x= 3 |H1) =. Так как граней, содержащих 3 очка всего одна из шести. Если же выбранный стакан содержит три игральные кости, то 3 очка могут выпасть только одним образом: когда на всех трех костях выпадет по 1 очку. Вероятность такого события составляет. По формуле полной вероятности (Определение 3.2.) получаем
P(x= 3) =P(H1)P(x= 3 |H1) +P(H3)P(x= 3 |H3) =.
Среди 25экзаменационных билетов,7«легких». Первый билет берет Кондратьев и уносит его с собой, следующий берет билет Иванов. Вероятность того, что Иванову достался билет с «несложными» вопросами равна …
Обозначим за Н = {Иванову достался «легкий» билет}. Сформулируем две гипотезы: Л = {Кондратьев унес «легкий» билет} и С = {Кондратьев унес «сложный» билет}. Вычислим P(Л) =,P(С) =. Если Кондратьев унес «легкий» билет, то в стопке билетов осталось 6 «легких» и 18 «сложных». В таком случаеP(Н | Л) =. В противном случае в стопке останется 7 «легких», 17 «сложных» иP(Н | С) =. По формуле полной вероятности (Определение 3.2.)
P(Н) =P(Л)P(Н | Л) +P(С)P(Н | С) =.
Кстати говоря, вероятность вытащить «легкий» билет осталась такой же, как если бы Иванов тянул билет первым.