Тестовые задания для самостоятельного решения

11. Легкое.Объем и качество продукции трех фабрик, поступающей в магазин, задается таблицей

	Первая	вторая	третья
Объем поставок	33 %	30 %	37 %
Процент брака	3 %	2 %	4 %

Вероятность того, выбранное наугад изделие окажется нестандартным, равна...

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

12. Средней трудности.В одном стакане 2 игральные кости, в другом 3. Наугад выбранный стакан переворачивается. Вероятность того, что на выпавших костях в сумме будет НЕ МЕНЕЕ трех очков, равна…

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

13. Трудное.Трое стрелков попадают в цель с вероятностями 0,5, 0,7 и 0,8 соответственно Вероятность того, что при стрельбе залпом в цель попал только один, равна…

а) 0,31

б) 0,27

в) 0,22

г) 0,33

д) 0,5

14. Повышенной трудности.Среди женщин-избирателей 70% поддерживают кандидата от партии Л, а среди мужчин-избирателей 60%. Согласно данных переписи, доля женщин составляет 55%. Вероятность того, что выборы выиграет кандидат от партии Л равна ...

а) 0,55

б) 0,745

в) 0,1

г) 0,95

д) 0,655

15. Средней трудности.В первой урне белых шаров вдвое меньше, чем черных, в каждой из остальных девяти белых вдвое больше, чем черных шаров. Вероятность того, что шар, извлеченный из наугад выбранной урны окажется черным, равна...

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

4. Формула Байеса Основные определения

1. Формула Байеса.Если событиеAвходит в некоторую полную группу событийA₁,A₂,…,A_n, под индексомj, т.е.A=A_j, то.

Примеры решения тестовых заданий

14. Объем и качество продукции трех фабрик задается таблицей

	Первая	вторая	третья
Объем поставок	10 %	20 %	70 %
Процент брака	3 %	2 %	5 %

Вероятность того, выбранное наугад изделие, оказавшееся нестандартным, произведено ТРЕТЬЕЙ фабрикой, равна…

14. Обозначим события:

B= {выбранное наугад изделие бракованное};

H₁= {изделие произвела первая фабрика};

H₂= {изделие произвела вторая фабрика};

H₃= {изделие произвела третья фабрика}. Из условий задачи известны вероятности

P(H₁) = 0,1;P(H₂) = 0,2;P(H₃) = 0,7, а также

P(B|H₁) = 0,03;P(B|H₂) = 0,02;P(B|H₃) = 0,05. Требуется определить.

Найдем эту вероятность по формуле условной вероятности (Определение 3.1.) . В этой формуле все вероятности известны кроме Р(B). Но, ее можно рассчитать по формуле полной вероятности (Определение 3.2.), как это сделано в (Пример 9.). Правильный ответ.

15. В первой урне белых шаров в три раза больше, чем черных, в остальных девяти белых и черных шаров поровну. Вероятность того, что шар, оказавшийся белым, извлечен НЕ ИЗ ПЕРВОЙ урны, равна…

15. Обозначим события:

W= {шар, извлеченный из наугад выбранной урны, оказался белым};

H₁= {шар извлечен из ПЕРВОЙ урны};

H₂= {шар извлечен НЕ из ПЕРВОЙ урны}.

Известны вероятности P(H₁) = 0,1 иP(H₂) = 0,9, а такжеP(W | H₁) = ¾;P(W| H₂) = ½. ВероятностьP(W | H₁) вычисляется так. Обозначим заxколичество черных шаров в первой урне. Тогда белых шаров там будет 3x. Благоприятствующих исходовm = 3x, общее же число исходовn=x+ 3x= 4x.P(W | H₁) = . По формуле Байеса (Определение 4.1.).

16. Из партии в 4 изделий выбрано одно, оказавшееся бракованным. Тогда из предположений о количестве бракованных изделий в партии наиболее вероятным является….

16. Введем обозначения:

B= {выбрано нестандартное изделие};

H_n= {в партии имеется ровноnнестандартных изделий, гдеn= 1, 2, 3, 4}. В условии задачи не указаны априорные вероятности гипотез, поэтому будем считать, что они все равныP(H_n) =. Вычислим условные вероятности событияB.

P(B|H₁) = ¼, так как есть один благоприятствующий исход из 4-х.

P(B|H₂) = ½, так как есть уже два благоприятствующих исхода из 4-х.

P(B|H₃) = ¾ и, наконецP(B|H₄) = 1. Воспользуемся теперь формулой полной вероятности (Определение 3.2.) и получимP(B) =. Теперь используем формулу Байеса (Определение 4.1.)

,,и.

Ответ: 4.

17. Трое стрелков попадают в цель с вероятностями 0,3, 0,2 и 0,8 соответственно. При стрельбе залпом в цель попали двое. Вероятность того, что ВТОРОЙ стрелок ПРОМАХНУЛСЯ, равна…

17. Сформулируем гипотезы:

H₀= {в цель никто не попал};

H₁= {в цель попал 1 стрелок};

H₂= {в цель попали 2 стрелка};

H₃= {в цель попали 3 стрелка}. Обозначим событиеM₂= {второй стрелок промахнулся}. Требуется найтиP(M₂|H₂). По формуле Байеса (Определение 4.1.).P(M₂) = 1 – 0,2 = 0,8, так как события «попал» и «промахнулся» являются противоположными.P(H₂|M₂) = , так как в этом случае первый стрелок попал и третий попал (про второго стрелка точно известно что он промазал). Для нахожденияP(H₂) рассмотрим все варианты, когда в цель попадают 2 стрелка. Есть только три возможности появления такого события: когда промахивается только один из стрелков. . Ответ:.