Принцип неразличимости одинаковых (тождественных) частиц. Принцип Паули

Поскольку в квантовой механике частицы не имеют траектории, то при перекрытии волновых функции частиц одного сорта в какой-либо области пространства нельзя, обнаружив частицу, достоверно узнать с какой именно частицей мы имеем дело. Если даже в какой либо момент времени нам удалось локализовать электрон, то в последующий момент его координата станет неопределенной и можно говорить только о вероятности нахождения электрона в какой либо области пространства. Таким образом, если после процесса локализации и нумерации электронов в некоторый момент времени мы найдем электрон в данной области пространства, то нельзя точно указать, какой именно из электронов мы обнаружили (поскольку существует вероятность обнаружить любой из них). Например, если взять два удаленных атома водорода, то нельзя абсолютно достоверно утверждать, что возле первого атома находится его “родной” электрон, а не электрон второго атома, поскольку волновая функция второго электрона, хотя и убывает с увеличением расстояния от его ядра, однако не равна нулю возле второго атома. Это означает, что плотность вероятности (а значит в вероятность) нахождения частицы в заданной точке пространства не должна зависеть от перестановки одинаковых частиц местами, т. е.:

Это свойство получило название принципа неразличимости тождественных частиц: в квантовой механике тождественные частицы (имеющие одинаковую массу, заряд, спин и т.д.) принципиально неразличимы. Принцип неразличимости тождественных частиц является чрезвычайно важным, поскольку из него следует вывод, что системы квантовых частиц необходимо изучать только в совокупности, а не индивидуально.

Однако условию будут удовлетворять две волновые функции

—симметричная

—антисимметричная

Таким образом, условие накладывает дополнительное ограничения на вид волновой функции системы тождественных частиц: она должна либо только симметричной, либо антисимметричными. В связи с этим возник вопрос: “Какие частицы буду описываться симметричной волновой функцией, а какие антисимметричной?”. Дальнейший анализ показал, что система частиц с целым спином (которые назвали бозонами) описываются симметричной волновой функцией, а частицы с полуцелым спином (получившие название фермионов)антисимметричной волновой функцией.

Докажем, что волновая функция системы из двух невзаимодействующих частиц может быть записана в виде произведения двух волновых функций. Рассмотрим одномерное уравнение Шредингера для двух частиц:

Видно, что в данном уравнение переменные характеризующие движение каждой частицы входят независимо, в этом случае частное решение можно искать методом разделения переменных. Волновую функцию системы можно представить в виде произведение волновых функций зависящих от координат каждой из частиц

,

Тогда уравнение Шредингера распадается на два независимых уравнения

Видно, что если первое уравнение умножить на , а второе наи сложить, то получим исходное уравнение. В соответствии с принципом суперпозиции, волновая функция, являющаяся линейной комбинацией волновых функций, также будет описывать возможное состояние системы. Кроме того она должна удовлетворять принципу неразличимости тождественных частиц. Единственной волновой функцией, удовлетворяющей этим условиям является следующая:

Знак плюс соответствует симметричной, а минус антисимметричной волновой функции. Из следует интересная особенность для фермионов: если , то. Это означает, что два фермиона не могут находиться в одном и том же квантово механическом состоянии (с одинаковыми квантовыми числами) даже при отсутствии взаимодействия между ними. Это утверждение получило названиепринципа запрета Паули: в одном квантово механическом состоянии (которое характеризуется набором квантово механических чисел) не может находиться больше одного фермиона. Принцип Паули является очень необычным с точки зрения классической физики, поскольку предполагает, что фермионы каким-то образом “узнают” о занятости состояния, даже не воздействуя друг на друга.