- •1. Функция, одз
- •2. Свойства функции.
- •3. Обратная функция.
- •4. Сложная функция.
- •5. Основные элементарные функции.
- •6. Предел функции
- •7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова
- •8. Свойства предела функции.
- •9. Односторонние пределы.
- •10. Асимптоты функций.
- •11 Монотонные функции.
- •12. Замечательные пределы.
- •13. Формула непрерывных процентов.
- •14 Непрерывность функции в точке.
- •Свойства функций непрерывных в точке
- •15. Основные элементарные функции:
- •16. Теорема о непрерывности сложной функции.
- •17. Теорема о непрерывности обратной функции.
- •18. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их 7классификация.
- •1. Производная функции и ее геометрический смысл.
- •2. Уравнение касательной.
- •6. Понятие функции, дифференцируемой в точке.
- •7. Дифференциал функции в точке
- •8. Приближенные вычисления.
- •9. Эластичность функции и ее свойства.
- •10 Производная сложной и обратной функции.
- •11. Производная основных элементарных функций.
- •12. Правило Лопиталя
- •13 .Производные и дифференциалы высших порядкров.
- •14 Формула Тейлора.
- •15 Условия монотонности функции.
- •16. Условия сущ. Экстремула
- •17. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.
- •18. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
- •19. Теорема Ферма
- •20. Теорема Ролля
- •21. Теорема Лагранжа
- •22. Теорема Коши (обобщенная теорем о конечных приращениях)
- •23. Свойства выпуклости (вогнутости).
- •3. Интегральное исчисление функций одной переменной.
- •1. Первообразная.
- •2. Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •3 Табличные интегралы.
- •4. Метод замены переменной или метод подстановки
- •5. Метод интегрирования по частям
- •5. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов
- •6. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления
7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Опр. Функция f(x) наз.бесконечно малой при х →х0, если
и бесконечно большой при х →х0 , если
Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х
→х0) снова являются бесконечно малыми функциями (при х
→х0).
2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова
бесконечно малая функция.
8. Свойства предела функции.
1. Функция f(x) в точке х0 может иметь только один предел.
Доказательство: Пусть (1)
и одновременно
где a≠b.
(2)
Тогда для любой последовательности { хn} сходящейся к х0
(где все хn≠ х0), мы должны иметь два предела
что невозможно, т.к. последовательность {f(хn)} может иметь только один предел.
2.Если f(x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки
функция ограничена.
Доказательство. Предположим, что это не так. U1=( х
0-ε ; х0+ε), ε>0 . Ввиду неограниченности
f(x) в этой окрестности должна найтись точка х1Î U1
, такая что │f(х1)│>1. Уменьшим вдвое эту
окрестность и рассмотрим U2=( х0-ε/2 ; х0
+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х2
Î U2 , такая что │f(х2)│>2.
Продолжив это рассуждение, получим Un=( х0-ε/n ; х
0+ε/n) , f(хn) > n, хn → х
0 ; f(хn)→∞. мы пришли к противоречию.
3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х0 выполняется
неравенство f(x) ≥b , то и
если такой предел существует.
(доказывается по соответствующему свойству предела числовой
последовательности).
4.Если в некоторой окрестности
точки х0 имеем f(x)≥g(x) , то и
если пределы существуют.
5. Если в некоторой окрестности
точки х0 имеем f(x)≥g(x)≥h(x) причем пределы
f(x) и h(x) при х→ х0 существуют и равны между собой
Арифметические свойства пределов.
9. Односторонние пределы.
Опр.Число а называют пределом
функции f(x)в точке х0 справа, если для любой
сходящейся к х0 последовательности {хn}, в которой все х
n>х0, соответствующая последовательность {f(хn)}
сходится к а.
Аналогично определяют предел функции слева:
10. Асимптоты функций.
Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у=f(x) , если хотя
бы один из пределов
Прямая у=кх+b является наклонной
асимптотой графика у=f(x) при х→+∞, если f(x)
представима в виде f(x)= кх+b+α(х), где
Теорема. Для того чтобы график функции у=f(x) имел
х→+∞ наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы
существовали два предела
Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.
11 Монотонные функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х
принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых
значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:
f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))
Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х
принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых
значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:
f(x1)≤f(x2) (f(x1) ≥f(x2))
Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.
Любая ограниченная монотонная функция имеет предел.