17. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.

Наибольшее значение достигается в некоторой точке х₀Î [a,b].

При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х₀=а, 2) х₀

=b, 3)х₀Î(a,b). Пусть х₀Î(a,b). Тогда х₀

– точка локального экструмума и, если существует f¢(x₀),

f¢(x₀)=0. Однако производная f¢(x₀) может и не

существовать.

Критической точкой функции f(x) называется точка, в которой

производная f¢(x) либо не существует, либо равна нулю.

Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x₀ является

критической точкой функции f(x) . Предположим, что критические точки функции

f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x₁,x₂

, .,x_n}. Из сказанного выше следует, что точка x₀ , в

которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с

одной из точек: a,b,x₁,.x_n. Поэтому для максимального

значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство f_max

=max{f(a),f(b),f(x₁),.f(x_n)}. Аналогично для минимального

значения f_min=min { f(a),f(b),f(x₁),.f(x_n)}.

18. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1.Область определения функции, поведение функции на границе области

определения. Асимптоты. Точки пересечения с осями.

(Справка: для нахождения асимптот рассматриваем односторонние пределы

(вертикальная асимптота), и пределы при х→∞ для выражений f

(x)/х (предел равен к) и f(x)-кх (b) (наклонная асимптота у=кх+b).

Подробнее вопр.1.3.

2.Четность, нечетность. Периодичность.

(справка: четная f(-x)=f(x); нечетная f(-x)=-f(x).

Периодичность f(x+Т)=f(x)=f(x-Т))

3.Монотонность и экстремумы. (Функции, убывающие или возрастающие на

некотором числовом промежутке, называются монотонными. Находим производную,

критические точки. промежутки возрастания и убывания, точки максимума и

минимума).

4.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. (Для этого находим вторую

производную, точки перегиба, распределяем знаки второй производной: -

вогнутая, +выпуклая)

5.График функции с обозначением всех найденных точек и асимптот.

19. Теорема Ферма

Пусть ф-я у = f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней

точке этого промежутка с принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в

этой точке существует конечная производная, то она = 0.

С ¹ a, с ¹ b, f(c) – max. Докажем, что f'(c) = 0.

Т.к. f(c) - max, то для всех точек f(x) £ f(c) при xÎ[a;b]

f(x) - f(c) £ 0

Т.к. по условию теоремы в точке с ф-я f имеет производную, то можно

рассмотреть производную f'(c) = lim (f(x)-f(c))/(x-c)

1) x-c < 0 f’(c)³ 0ü Þ f’(c) = 0

2) x-c > 0 f’(c)£ 0þ

20. Теорема Ролля

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью

достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке

[a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом

промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a)

= f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в

этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на

этом отрезке свое max и min значение.

f(x₁) = M – max , f(x₂) = m – min ; x₁;x₂ Î [a;b]

1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M

Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения,

а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть M>m

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее

значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать

M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.