1

		145
	c = γ ZRT ,		(137)
где γ = Cp	Cv − показатель адиабаты (для метана γ =1,31), ко-
эффициент	Z считается постоянным		(для совершенных газов
Z =1 ). Скорость c		≈ 400 ÷ 420 м/c.
Если скорость		v течения газа мала по сравнению со скоро-

стью звука c (то есть мало число Махаvc <<1 ), если можно

пренебречь влиянием колебаний температуры на параметры газа, то система уравнений (135) упрощается:

∂p

∂t

ρст.

+ρ	ст.	c2	∂qк. = 0,
			∂x								(138)
∂q			∂p		λс2ρ	2		q		2
		+		= −					к.		,
	к.					ст.
			∂x		2γd			p
∂t

где q.к. (x, t )= M& S = ρ(x, t ) v (x, t )ρст. − массовая скорость газа (м/с), представляющая собой удельный (то есть рассчитанный на единицу площади сечения трубопровода) массовый расход газа, выраженный в стандартных куб. м.: M& = ρст.qк.S . Сис-

тема уравнений (138) содержит две неизвестные функции: p(x,t) и qк. (x,t) от x и t. В общем случае систему уравнений (138) мож-

но решать методом характеристик [8].

Для длинных (магистральных) газопроводов в уравнениях (138) пренебрегают инерцией газа ( ρст. ∂qк. ∂t << ∂p∂x ) и считают, что движущая сила - градиент давления – уравновешивает-

ся только силой −λc2ρст.2	2γd qк.2		p трения газа о внутреннюю
поверхность трубопровода.
∂p		λc2ρ		2	q	2
∂x	= −		ст.			к.	.
		2γd			p

146

В этих случаях систему уравнений (138) сводят к одному уравне-

нию типа теплопроводности:

∂p2 (x, t )	= a	2		∂2p2 (x, t )	(139)
∂t				∂x2

для функции p2 (x,t), или

∂q	2	(x, t )	= a2	∂2q	2	(x, t )	(140)
	к.				к.
	∂t				∂x2

для функции q2к. (x,t). В этих уравнениях:

	2	= −	γd		∂p2
	qк.					, (141)
			λc2ρст.2		∂x

а коэффициент a2 (м2/с) определяется формулой:

	a2 =	c2d	,	(142)
		γλ vср.
	где vср. − среднее значение скорости			газа в рассматриваемом

нестационарном процессе.

Уравнения (139) или (140) решают в совокупности с начальными (при t = 0 ) и краевыми (при x = 0 и x = L ) условиями, отражающими начальное состояние газа на участке ( 0 ≤ x ≤ L ) газопровода и работу тех устройств, которые расположены на левом ( x = 0 ) и правом ( x = L ) концах участка.

Если, например, в начальный момент времени в газопроводе существовал стационарный режим перекачки с давлениями pн. в

147

сечении x = 0 и pк. в сечении x = L , то начальное условие мож-

но принять в виде:
p2 (x, 0)= pн.2				−	pн.2		−pк.2	x	- для уравнения (139);
							L
q	к.	2 (x, 0)=		γd			pн.2 −pк.2		= const. - для уравнения
(140).			λc2ρст.				L

В качестве краевых условий можно задавать давления и расходы в виде функций от времени или алгебраические связи между давлениями и расходами, моделирующими оборудование, установленное на концах газопровода:

x = 0 : ε =	pн. (0, t )	= Ф[q		к.	(0, t )] или	p(L,t)= f (t);	(141)
	pв.					1
x = L : pк. (L,t)= f1			(t) или qк. (L,t)= f2			(t).	(142)

Продувка газопровода. При продувке участка газопровода один газ (воздух) вытесняет другой газ (природный газ), поэтому в зоне их контакта образуется метановоздушная смесь. Длина lс зоны смеси в пределах концентраций 0,01-99,99% определяется

формулой
lc = 6, 22 d0,45 L ,	(143)
где внутренний диаметр d берется в мм, протяженность L уча-

стка вытеснения – в км, а длина lс смеси – в м.

При опорожнении сосудов высокого давления, в том числе участков газопровода, путем сброса газа через короткие насадки (свечи) различают два режима истечения: первый – критический, когда скорость газа на выходе насадка равна местной скорости

148

звука (такой режим называют звуковым), и докритический, когда эта скорость меньше скорости звука (дозвуковой).

Критический режим истечения возникает, если давление p в сосуде больше давления pa в среде, куда выпускается газ (например, атмосферного; тогда pa = pатм. ) в определенное число раз, зависящее от показателя γ адиабаты; в противном случае

режим истечения – докритический.

Для определения параметров истечения совершенного газа существуют следующие формулы:

p

γ +1

γ

γ−1

1.

Если

>

, имеет место критический режим

pа

2

истечения газа ( vc

= cc ). В этом случае:

γ +1

γ

2

2γRT

1−γ

pc

= p

;

Tc

= T

;

vc =

,

(144)

2

γ +1

γ +1

где T − температура газа в сосуде (или в том сечении газопро-

вода,

в котором имеется выпускное отверстие); pс ,vc

и Tc −

давление, скорость и температура газа, соответственно, на срезе

выходного отверстия; cc =

2γRT (γ+1) .

Время t1 уменьшения давления в сосуде с объемом V от

значения p0 до значения pt

при критическом режиме истечения

находится по формуле

t1 =

V

ln (p0

pt )

, (145)

1

Sc

2

2γRT

γ−1

γ +1

γ +1

149

где Sc − площадь отверстия, через которое происходит истечение газа. Кроме того:

γ

pa γ2+1 γ−1 ≤ pt ≤ p0 .

p

γ +1

γ

γ−1

2. Если

<

,

имеет место докритический режим

pа

2

истечения газа ( vc < cc ). В этом случае:

p

1−γ

2γRT

p

1−γ

γ

γ

pc = pa ;

Tc

=

T

;

vc =

γ −1

1

−

.

(146)

pa

pa

Время

t1

уменьшения давления в сосуде с объемом

V от

значения p0 до значения pt

при докритическом режиме истече-

ния находится по формуле

t2 =

V

F(γ, p0 pa , pt pa )

(147)

Sc

2γRT

γ +1

где F(γ, p0 pa , pt pa )− функция, определяемая интегралом:

	p0 pa	dξ
	F(γ, p0 pa , pt pa )= ∫		.
		ξ2(γ−1) γ −ξ(γ−1) γ
	pt pa

В частном случае, для метана ( γ =1,31) и полного опорож-

нения сосуда ( p0 pa =1,839 ; pt pa =1 ): F(1,31;1,839;1) 3,87 и

		150
t2	1,33	V		1	. (148)
		Sc		RT

ЗАДАЧИ.

236. Найти адиабатическую скорость звука в газопроводе, транспортирующем газ (µ =17,8 кг/кмоль, pкр. = 4,8

МПа, Tкр. =194 К; CP = 2500 Дж/(кг К); Cv = 2030 Дж/(кг К), при значениях p = 4,3 МПа давления и Tср. = +15 0С

температуры.

Ответ. 388 м/с.

237. С какой скоростью волна повышения давления уходит вверх по потоку газа ( ∆ = 0,59 , pкр. = 4,55 МПа, Tкр. = 205 0С, CP = 2400 Дж/(кг К), Cv =1913 Дж/(кг К)) от сечения, в котором произошло мгновенное закрытие крана, если известно, что давление газа в этом сечении было 5,2 МПа, а температура +30 0С?

Ответ. 404 м/с.

238. Давление p(x,t) в переходном процессе, происхо-

дящем на участке газопровода ( D =1020 ×12 мм, L =120 км, k = 0,05 мм), описывается уравнением (139) типа теплопроводности:

∂p2 (x, t )	= a	2		∂2p2 (x, t )	.
∂t				∂x2
В этом уравнении параметр a ,			играющий роль коэффици-

ента температуропроводности, определяется согласно равенству (142): a2 = c2d(γλ vср. ). Определить значение па-

раметра a , если известно, что из-за отключения одного из ГПА давление на КС уменьшается от 5,1 МПа до 4,5 МПа

151

при неизменном давлении 3,8 МПа в конце участка. При-

нять ∆ = 0,59 ; Zср. = 0,9 ; Tср. =15 0С; R = 490 Дж/(кг К). Ответ. a2 =1,64 106 м2/с.

239. Удельный массовый расход газа qк. (x, t )= M& S в переходном процессе, происходящем на участке газопрово-

да ( D =1020 ×10 мм, S = πd2 4 , L =150 км), описывается уравнением (140) типа теплопроводности:

∂qк.2 (x, t ) = a2 ∂2qк.2 (x, t ),

∂t ∂x2

причем параметр a2 , играющий в этом уравнении роль коэффициента температуропроводности, равен 1,64 106 м2/с (см. решение предыдущей задачи). Считая рассматриваемый участок газопровода полубесконечным ( 0 ≤ x < ∞), опреде-

лить,	через	какое время внезапное изменение
∆Qк.0	= 0,25 Qк.	коммерческого расхода газа, происшедшее

в начале участка на 25% от его первоначального значения, достигнет сечения x = L =150 км газопровода? Под временем достижения понимается момент времени, когда изменение ∆Qк. (L,t)расхода газа в сечении x =150 км составит

1% от величины ∆Qк.0 . При этом предполагается, что новый

расход газа, установившийся в начале участка, поддерживается постоянным.

Ответ. 1002 с ( ≈16,7 мин).

240. В начале участка газопровода ( d − внутренний диаметр; L − протяженность) давление составляет pн. , а в

конце - pк. . В некоторый момент ( t = 0 ) времени давление в начале участка увеличивают до значения pн. и далее под-

держивают его постоянным. Начавшийся в газопроводе переходный процесс заканчивается установлением нового стационарного режима. Определить время установления

152

этого режима, понимая под ним интервал времени от начала процесса до момента, когда массовый расход газа в начале участка будет отличаться от массового расхода в конце участка не более чем на 1% от его нового значения.

		λvср.L2			p 2	−p	2
Ответ.			ln	100	н.		н.	.
	2				2		2
		d Zср.RTср.
	π				pн.	−pк.
241. Используя условие				предыдущей				задачи № 240,

найти время установления стационарного режима на участке газопровода ( D =1020 ×10 мм, L =100 км, k = 0,05 мм) при повышении давления в начале участка с 4,5 до 5,5 МПа, если известно, что давление в конце этого участка остается

неизменным и равным 3,5 МПа. Принять:		Zср. = 0,9	;
R = 500 Дж/(кг К); T	= 20 0С.
ср.
Ответ. ≈49 мин.
242. Коммерческий расход газа ( ∆ = 0,60 ,		Zср. = 0,92	,
R = 500 Дж/(кг К); T	=10 0С) на участке магистрального
ср.

газопровода ( D = 820 ×10 , L =125 км, k = 0,03 мм) составляет 15 млн. м3/сутки. После того, как один из газоперекачивающих агрегатов на КС внезапно отключился, расход газа уменьшился до 10 млн. м3/сутки. Определить, через какое время после отключения агрегата расход газа в сечении, отстоящем от КС на расстояние 25 км, станет меньше 10,5 млн. м3/сутки, если известно, что первоначальное давление на КС составляло 5,5 МПа, а в конце участка оставалось неизменным.

Ответ. 555 с ( ≈ 9,25 мин).

243. На 30-м километре участка газопровода протяженностью 150 км образовался свищ (сквозное коррозионное

отверстие) площадью 20		мм2. Какой	объем	газа
( ∆ = 0,62	, γ = CP Cv =1,37 ) будет потерян за		сутки	в ре-
зультате	утечки через свищ,	если известно, что давление в

153

начале участка газопровода составляет 5,5 МПа, а в конце – 3,5 МПа? Температуру газа в сечении утечки принять равной 12 0С, а коэффициент сжимаемости Zc = 0,9 .

Ответ. 40,2 тыс. м3.

244. На 80-м километре газопровода с протяженностью 120 км возникло сквозное отверстие площадью 4 см2. Какой объем газа ( R = 500 Дж/(кг К), γ = CP Cv =1,31) будет по-

терян за сутки, если известно, что давление в начале участка газопровода составляет 5,8 МПа, а в его конце – 3,5 МПа, а средняя температура газа +10 0С? Газ считать совершенным.

Ответ. 391,24 тыс. м3.

245. Для производства ремонтных работ участок газопровода изолировали от остальной части трубопровода, перекрыв его кранами, и начали выпускать газ ( γ =1,31,

R = 487 Дж/(кг К)) в атмосферу через короткий патрубок (свечу) с внутренним диаметром 100 мм. Определить скорость истечения газа на срезе свечи в моменты времени, когда давление внутри газопровода сделалось сначала 1,2, а потом 0,12 МПа, если известно, что температура газа в сечении, где установлена свеча, составляет +10 0С. Газ считать совершенным.

Ответ. 398 и 214 м/с.

246. Участок газопровода (см. условие задачи № 243) изолировали от остальной части трубопровода и начали выпускать газ ( γ =1,31, R = 487 Дж/(кг К)) в атмосферу

через короткую свечу с внутренним диаметром 100 мм. Определить массовые расходы истечения газа в моменты времени, когда давления газа в месте установки свечи были равны 1,2 и 0,12 МПа. Известно, что температура газа в сечении, где установлена свеча, составляет +10 0С. Газ считать совершенным.

Ответ. 17,15 кг/c (24,15 м3/с) и 1,29 кг/c (1,82 м3/с).

154

247. За какое время давление в отсеченном участке га-

зопровода ( D =1220 ×24 мм, L = 3000	м) снизится с 4,0
МПа до 2,0 МПа, если газ ( ∆ = 0,62 , T	=10 0С, γ =1,34 )
0

выпускать через свечу с внутренним диаметром 84 мм? Какова скорость истечения газа? Газ считать совершенным.

Ответ. 1727 с ( ≈ 29 мин), 387,4 м/с.

248. Задача об опорожнении участка газопровода. Уча-

сток газопровода ( D = 820 ×10 мм, L = 5 км) выведен из эксплуатации для ремонта. После того, как его изолировали

от остальной		части газопровода кранами, давление газа
( ∆ = 0,59	, T	=10 0С, γ =1,31) в нем составило 2,0 МПа.
	0

Через свечу с внутренним диаметром 150 мм газ начали выпускать в атмосферу. Сколько времени необходимо для того, чтобы давление газа в изолированном участке газопровода опустилось до атмосферного (0,1013 МПа)?

Ответ. ≈31 мин.

249. (Задача о продувке участка газопровода) Для вы-

теснения природного газа из 25-км участка газопровода ( D = 820 ×10 мм) в него через начальное сечение нагнетают воздух. Определить длину газовоздушной смеси в момент ее подхода к концу участка, если под смесью понимать область, в которой концентрация газа изменяется от 0,01 до

99,99 %.

Ответ. 630 м.

250. (Задача о маркере) В потоке газа в газопроводе ( D =1020 ×10 мм, L = 750 км) создается метка путем введения специальной газовой примеси (маркера), концентрация которой равна θ0 . Какова должна быть протяженность

газовой метки для того, чтобы в конце рассматриваемого газопровода концентрация маркера в середине метки уменьшилась не более чем на 0,01 %?

Ответ. 3813 м.