- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
- •Процесс ортогонализации.
- •Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая.
- •Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
- •. Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения.
- •Псевдорешения. Метод наименьших квадратов.
- •Нормальное решение
- •Нормальное псевдорешение.
- •Унитарное пространство.
- •Билинейные функции, квадратичные формы.
- •Билинейные формы. Квадратичные формы.
- •Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы.
- •Изменение матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при изменении базиса.
- •Приведение квадратичных форм (симметричных билинейных форм, эрмитовых форм) к простейшему виду.
- •Метод выделения квадратов (Лагранжа).
- •Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями
- •Закон инерции квадратичных форм.
- •Теорема Якоби
- •Критерий Сильвестра.
- •Квадрики.
- •Алгебраическая поверхность
- •Уравнение квадрики.
- •Изменение квадрики при аффинном преобразовании
- •Приведение уравнения квадрики к простейшему виду
- •Аффинная классификация кривых второго порядка.
- •Аффинная классификация поверхностей второго порядка
- •Линейный оператор
- •Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
- •Примеры линейных операторов.
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.
- •Алгебра линейных операторов.
- •Простейший вид матрицы линейного оператора.
- •Эквивалентность матриц
- •Ранг, дефект линейного оператора.
- •Линейное преобразование
- •Линейное преобразование. Его матрица
- •Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
- •Алгебра линейных преобразований.
- •Инвариантные пространства
- •Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.
- •Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.
- •Диагонализируемые преобразования
- •Теорема Шура
- •Сопряженные преобразования.
- •Линейное преобразование и билинейные функции
- •Сопряженное преобразование. Свойства.
- •Нормальное преобразование и его свойства.
- •Ортогональные преобразования
- •Самосопряженное преобразование.
- •Полярное разложение
- •Приведение квадратичных форм
- •Приведение квадратичных форм к главным осям.
- •Приведение пары квадратичных форм
- •Первый способ
- •Пучок матриц
- •Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.
- •Ортогональная классификация кривых второго порядка
- •Ортогональная классификация поверхностей второго порядка.
- •Аннулирующий многочлен
- •Аннулирующий многочлен вектора.
- •Аннулирующий многочлен подпространства
- •Функции от матриц
- •Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
Аффинная классификация кривых второго порядка.
Теорема 5.16. Любая кривая второго порядка аффинно эквивалентна одной из 9 кривых, приведенных в таблице. Приведенные кривые аффинно не эквивалентны между собой.
Название кривой |
Каноническое уравнение кривой |
Расширенная матрица |
rgA |
S(A) | ||
Эллипс |
diag(1,1,-1) |
2 |
2 |
3 |
2 | |
Мнимый эллипс |
diag(1, 1, 1) |
2 |
2 |
3 |
3 | |
Гипербола |
diag(–1, 1, –1) |
2 |
1 |
3 |
1 | |
Пара пересекающихся мнимых прямых |
diag(0, 1, 1) |
2 |
2 |
2 |
2 | |
Пара пересекающихся прямых |
, |
diag(0, 1, –1) |
2 |
1 |
2 |
1 |
Парабола |
1 |
1 |
3 |
2 | ||
Пара параллельных прямых |
diag(–1, 1, 0) |
1 |
1 |
2 |
1 | |
Пара параллельных мнимых прямых |
diag(1, 1, 0) |
1 |
1 |
2 |
2 | |
Пара совпавших параллельных прямых |
diag(0, 1, 0) |
1 |
1 |
1 |
1 |
Доказательство. Любую кривую 2-го порядка в соответствующих аффинных координатах можно описать одним из перечисленных канонических уравнений. Действительно, иrgA может принимать лишь два значения 1 или 2, поэтому матрица A может иметь один из следующих трёх видов: или. Очевидно, приведённая таблица исчерпывает все возможные варианты расширенных матриц, соответствующих каждой из трёх матрицA.
Аффинная классификация поверхностей второго порядка
Теорема 5.17. Любая поверхность второго порядка аффинно эквивалентна одной из 17 поверхностей, приведенных в таблице. Приведенные поверхности аффинно не эквивалентны между собой.
Название поверхности |
Каноническое уравнение поверхности |
Расширенная матрица |
rgA |
S(A) | ||
Поверхности вращения | ||||||
Эллипсоид |
diag(–1, 1, 1, 1) |
3 |
3 |
4 |
3 | |
Мнимый эллипсоид |
diag(1, 1, 1,1) |
3 |
3 |
4 |
4 | |
Однополостный гиперболоид |
diag(–1, 1, 1, –1) |
3 |
2 |
4 |
2 | |
Двуполостный гиперболоид |
diag(1, 1, 1, –1) |
3 |
2 |
4 |
3 | |
Мнимый конус |
diag(0, 1, 1, 1) |
3 |
3 |
3 |
3 | |
Конус |
diag(0, 1, 1, –1) |
3 |
2 |
3 |
2 | |
Эллиптический параболоид |
2 |
2 |
4 |
3 | ||
Цилиндрические поверхности | ||||||
Эллиптический цилиндр |
diag(1,1,-1) |
2 |
2 |
3 |
2 | |
Мнимый эллиптический цилиндр |
diag(1, 1, 1) |
2 |
2 |
3 |
3 | |
гиперболический цилиндр |
diag(–1, 1, –1) |
2 |
1 |
3 |
1 | |
Пара пересекающихся мнимых плоскостей |
diag(0, 1, 1) |
2 |
2 |
2 |
2 | |
Пара пересекающихся плоскостей |
, |
diag(0, 1, –1) |
2 |
1 |
2 |
1 |
Параболический цилиндр |
1 |
1 |
3 |
2 | ||
Пара параллельных плоскостей |
diag(–1, 1, 0) |
1 |
1 |
2 |
1 | |
Пара параллельных мнимых плоскостей |
diag(1, 1, 0) |
1 |
1 |
2 |
2 | |
Пара совпавших плоскостей |
diag(0, 1, 0) |
1 |
1 |
1 |
1 | |
Гиперболический параболоид (седло) |
2 |
1 |
4 |
2 |