6. Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.

Теорема 7.23. Коэффициент характеристического уравнения приравен.

Доказательство получается раскрытием определителя .

Сумма элементов матрицы A, расположенных на главной диагонали, называется следом матрицы. След матрицы является коэффициентом характеристического многочлена и не зависит от выбора базиса..

7. Диагонализируемые преобразования

Линейное преобразование называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица линейного преобразования имеет диагональный вид. Заметим, что базис, в котором матрица линейного преобразования имеет диагональный вид, образован собственными векторами. Верно и обратное. В базисе из собственных векторов матрица линейного преобразования имеет диагональный вид. Не каждое линейное преобразование диагонализируемо. Например, линейное преобразование, заданное матрицей не диагонализируемо.

Теорема 7.24. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть - линейно независимая система собственных векторов, соответствующих собственному значению, гдеi=1,…,s. Покажем линейную независимость системы векторов индукцией поs. При s=1 утверждение очевидно. Пусть оно верно для s-1. Покажем его справедливость для s. Допустим, система - линейно зависима. Тогда найдутся коэффициентыне все равные нулю, что. Из этого равенства выводимили. По предположению индукции все коэффициенты в этом равенстве равны 0, и, значитприi<s. Но тогда система - линейно зависима, что противоречит условиям теоремы. К полученному противоречию привело допущение о линейной зависимости системы векторов, значит, эта система линейно независима, что и требовалось доказать.

Рассмотрим вопрос о количестве линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному числу .

Геометрической кратностью собственного числа называется дефект преобразования, аалгебраической кратностью называется кратность корня в характеристическом многочлене.

Теорема 7.25. Геометрическая кратность не превосходит его алгебраической кратности.

Доказательство. Пусть геометрическая кратность равнаk. Дополним базис ядра преобразованиядо базиса всего пространства. Матрица линейного преобразования в этом базисе имеет види характеристический многочлен равен. Таким образом, алгебраическая кратностьне меньше геометрической кратности, что и требовалось доказать.

Теорема 7.26 Линейное преобразованиелинейного пространстваV над числовым полем P диагонализируемо тогда и только тогда, когда характеристический многочлен раскладывается над полем P на линейные множители и алгебраическая кратность каждого корня совпадает с его геометрической кратностью.

Доказательство очевидно.

8. Теорема Шура

Пусть - линейное преобразование пространстваV над полем комплексных чисел C. Линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор (Следствие 7 .16). Этот факт можно усилить.

Теорема 7.27. Пусть- линейное преобразование пространстваVнад полем комплексных чиселC. Существует базисV, в котором матрица линейного преобразованияимеет верхний треугольный вид.

Доказательство проведем индукцией по размерности V. Пусть утверждение верно для линейных преобразований (n-1)-мерных пространств. Покажем его справедливость для линейного преобразования n-мерного линейного пространства V. Поскольку линейное пространство над полем C, то существует собственный вектор h этого линейного преобразования. Дополним этот вектор до базиса всего пространства векторами . Матрица линейного преобразования в этом базисе имеет блочный вид, где- собственное число для вектораh. Обозначим через W линейную оболочку векторов . Векторыобразуют базисW. Обозначим через линейное преобразованиеW, матрица которого в базисе равнаA. По предположению индукции в подпространстве W существует базис , в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид. ПустьT – матрица перехода к этому базису. Тогда - верхняя треугольная матрица. Матрица перехода от базисак базисуравна, и, значит, матрицав базисеравна, то есть является верхней треугольной.

Аналогом доказанной теоремы над полем вещественных чисел является следующий результат.

Теорема 7.28. Пусть- линейное преобразование пространстваVнад полем вещественных чиселR. Существует базисV, в котором матрица линейного преобразованияимеет блочный верхний треугольный вид. По главной диагонали стоят блоки первого и второго порядка.

Доказательство проведем индукцией по размерности n пространства V. Пусть утверждение верно для линейных преобразований пространств размерности меньшей n. Покажем его справедливость для линейного преобразования n-мерного линейного пространства V. Линейное преобразование имеет либо одномерное, либо двумерное инвариантное подпространство (Следствие 7 .17). Дополним базис этого инвариантного подпространства до базиса всего пространства векторами, гдеk равно либо 2, либо 3. Матрица линейного преобразования в этом базисе имеет блочный вид , где- блок либо первого, либо второго порядка. Далее, рассуждения повторяют доказательство теоремы 7.6.

Теорема 7.29. (теорема Шура). Для линейного преобразованияунитарного пространстваVсуществует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразованияимеет верхний треугольный вид.

Доказательство. Пусть - базисV, в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид (Теорема 7 .27). Применим к базису процесс ортогонализации и построим ортогональный базис. Матрица переходаT от базиса к базису- верхняя треугольная и. Поскольку произведение верхних треугольных матриц является верхней треугольной матрицей, то матрица- верхняя треугольная. Положим, гдеi=1,…,n. Базис - ортонормированный и матрица линейного преобразования в этом базисе – верхняя треугольная, тем самым теорема доказана.

Теорема 7.30. Для линейного преобразованияевклидова пространстваVсуществует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразованияимеет блочный верхний треугольный вид. По главной диагонали расположены блоки первого и второго порядков.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 7.7.