- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
- •Процесс ортогонализации.
- •Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая.
- •Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
- •. Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения.
- •Псевдорешения. Метод наименьших квадратов.
- •Нормальное решение
- •Нормальное псевдорешение.
- •Унитарное пространство.
- •Билинейные функции, квадратичные формы.
- •Билинейные формы. Квадратичные формы.
- •Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы.
- •Изменение матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при изменении базиса.
- •Приведение квадратичных форм (симметричных билинейных форм, эрмитовых форм) к простейшему виду.
- •Метод выделения квадратов (Лагранжа).
- •Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями
- •Закон инерции квадратичных форм.
- •Теорема Якоби
- •Критерий Сильвестра.
- •Квадрики.
- •Алгебраическая поверхность
- •Уравнение квадрики.
- •Изменение квадрики при аффинном преобразовании
- •Приведение уравнения квадрики к простейшему виду
- •Аффинная классификация кривых второго порядка.
- •Аффинная классификация поверхностей второго порядка
- •Линейный оператор
- •Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
- •Примеры линейных операторов.
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.
- •Алгебра линейных операторов.
- •Простейший вид матрицы линейного оператора.
- •Эквивалентность матриц
- •Ранг, дефект линейного оператора.
- •Линейное преобразование
- •Линейное преобразование. Его матрица
- •Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
- •Алгебра линейных преобразований.
- •Инвариантные пространства
- •Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.
- •Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.
- •Диагонализируемые преобразования
- •Теорема Шура
- •Сопряженные преобразования.
- •Линейное преобразование и билинейные функции
- •Сопряженное преобразование. Свойства.
- •Нормальное преобразование и его свойства.
- •Ортогональные преобразования
- •Самосопряженное преобразование.
- •Полярное разложение
- •Приведение квадратичных форм
- •Приведение квадратичных форм к главным осям.
- •Приведение пары квадратичных форм
- •Первый способ
- •Пучок матриц
- •Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.
- •Ортогональная классификация кривых второго порядка
- •Ортогональная классификация поверхностей второго порядка.
- •Аннулирующий многочлен
- •Аннулирующий многочлен вектора.
- •Аннулирующий многочлен подпространства
- •Функции от матриц
- •Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
Ранг, дефект линейного оператора.
Образ нуля равен нулю. Действительно, , отсюда.
Множество векторов из W, образ которых равен 0, называется ядром линейного оператора. Ядро линейного преобразования обозначим (). Ядро является подпространствомW (докажите) и его размерность называют дефектом и обозначают .
Множество всех образов векторов из W обозначают (). Множество образов является подпространствомV (докажите), его размерность называют рангом линейного оператора и обозначают .
Теорема 6.21..
Доказательство. Пусть – базис . По определению для каждого вектора существует прообразизW. Система векторов является линейно независимой. Действительно, из равенства, выводим, или
. В силу линейной независимости, все коэффициенты равны 0, и система является линейно независимой. Аналогично показывается, что пересечение линейной оболочки векторови состоит только из нулевого вектора. Действительно, из включения , выводим, и далее,. Для любого вектораx из W найдутся коэффициенты, что , и. Таким образомW представляется в виде прямой суммы линейной оболочки векторов и . Теорема вытекает из свойства прямой суммы.
Следствие 6.15. Можно выбрать базисы в пространствахW и V так, чтобы матрица линейного оператора имела диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество ненулевых элементов на диагонали равно рангу оператора.
Доказательство. Пусть иимеют тот же смысл, что и в доказательстве предыдущей теоремы. Дополним векторыдо базисаV, а векторы до базисаW векторами из . Полученные базисы обозначим через и, соответственно. Построим матрицу линейного оператора в этих базисах. Заметим,, а координаты векторав базисеравны (0,…,0,1,0,…,0), где 1 стоит наi-ом месте. Таким образом, матрица линейного оператора в этих базисах имеет диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество 1 равно рангу оператора.
Линейное преобразование
Линейное преобразование. Его матрица
Однозначное отображение линейного пространстваV над числовым полем P в себя называется линейным преобразованием, если оно сохраняет линейность, то есть для любыхи.
Линейное преобразование полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Действительно, пусть базисV. Вектор x разложим по базису , где- координаты вектораx. По свойству линейного преобразования имеем . Перейдем в последнем равенстве от равенства векторов к равенству их координат, которое можно записать используя матричное умножение следующим образом. Матрицаназываетсяматрицей линейного преобразования и обозначается . Матрица линейного преобразования связывает координаты образа с координатами исходного вектора.
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
Поскольку линейное преобразование частный случай линейного оператора, то можно воспользоваться полученной ранее формулой , гдеP – матрица перехода. Матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица P, что . Вопрос о подобии матриц сводится к решению системы линейных уравнений, где в роли неизвестных выступают элементы матрицыP, с дополнительным нелинейным условием .
Алгебра линейных преобразований.
На множестве всех линейных преобразований пространства V расмотрим операции:
Умножение на число: .
Сложение (вычитание)
Умножение .
Легко проверить линейность всех этих преобразований и вывести следующие формулы, связывающие их матрицы
Линейное преобразование, переводящее каждый вектор в себя, называется тождественным преобразованием и обозначается . В любом базисе матрица тождественного преобразования равна единичной.
Пусть - некоторый многочлен,- линейное преобразование пространстваV. Сопоставим многочлену линейное преобразование. Будем говорить, что преобразованиеполучено подстановкойв многочлен. Матрицаможет быть вычислена по формуле.
Свойство 7.14. Пусть. Тогда.