Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

9.3. Прием полностью известного сигнала (когерентный прием)

273

Отношение правдоподобия

1

n

n

w(z1,..., zn | H1)

(z

s )2

z2

2

2

k 1

k

k

k 1

e

k

.

w(z ,..., z

n

| H

0

)

1

Подставляя в это выражение 2

2 N0 /

t , получим

1

n

n

(z s )2

t z2

t

e

N0 k 1

k

k

k 1

k

.

(9.6)

Устремляя t к нулю ( n ), запишем логарифм отношения правдоподобия

1

T

2

1 T

2

ln

z(t)

s(t)

dt

z

(t)dt

N0 0

N0 0

2

T

1

T

2

z(t)s(t)dt

s

(t)dt .

(9.7)

N0 0

N0 0

Поскольку логарифм является монотонной функцией, правило обнаружения сигнала известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимума правдоподобия, основано на сравнении с нулевым порогом величины

T	E	,	(9.8)
y(t)s(t)dt
0	2

T

где E s2 (t)dt – энергия сигнала. Первое слагаемое в выражении

0

(9.8) называется корреляционным интегралом, так как совпадает по форме с выражением взаимно корреляционной функции сигнала и наблюдаемого процесса при нулевом сдвиге. Так как энергия сигнала известна, то при обнаружении можно сравнивать значение корреляционного интеграла (случайное в силу случайности реали-

зации z(t) ) с порогом, равным E / 2 .

Правило различения M сигналов известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимума правдоподобия, основано на сравнении между собой

T	i 1,...,M . Решение принимается в
величин z(t)si (t)dt Ei / 2 ,
0

274 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

пользу того сигнала, для которого эта величина максимальна. Структура оптимального приемника для различения M сигналов показана на рис. 9.4.

Рис. 9.4. Структура приемника максимального правдоподобия

Устройство выбора максимума УВМ выдает на выход номер k канала, в котором величина (9.8) максимальна. Приемник упроща-

ется, когда энергии всех сигналов равны.

Пример 9.2. В проводных системах связи с амплитудной телеграфией могут применяться посылки в форме прямоугольного видеоимпульса. Предположим, что сигнал, соответствующий символу «1», представляет собой прямоугольный видеоимпульс с амплитудой a и длительностью T . Тогда корреляционный инте-

грал имеет вид

TT

z(t)s(t)dt a z(t)dt ,

00

апорог равен E / 2 a2T / 2, тогда решающее правило имеет вид

T	T
z(t)dt aT / 2 "1" ,	z(t)dt aT / 2 "0" .
0	0

Структурная схема приемника показана на рис. 9.5. Постоянная времени интегрирующей цепи должна быть много

больше длительности посылки T . В этом случае начальный уча-

сток экспоненты a(1 e t /(RC) ) , отображающей заряд емкости, можно аппроксимировать прямой линией с тангенсом угла наклона

9.3. Прием полностью известного сигнала (когерентный прием)

275

z(t)

R

T

1

РУ

0

aT

0

2 RC

Рис. 9.5. Структурная

схема приемника прямоугольного

ви деоимпульса на фоне гауссовского шума

a /(RC) , равным производной экспоненты в нуле. Тогда за время

T напряжение на входе решающего устройства, обусловленное сигналом, составит aT /(RC) , а значение порога должно быть рав-

но aT /(2RC) . ◄

Пример 9.3. Предположим, что в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией сигнал, соответствующий символу «1», представляет собой прямоугольный радиоимпульс с амплитудой a

и длительностью T . Тогда s(t) acos( 0t ) , корреляционный интеграл имеет вид

TT

z(t)s(t)dt a z(t)cos(

0t )dt ,

00

апорог равен E / 2 a2T / 4. Сокращая на a и применяя реальный интегратор в виде RC -цепи, получаем структуру приемника, показанную на рис. 9.6. ◄

R

z(t)

cos( 0t )

T 1

РУ

0

	0	aT
		4 RC

Рис. 9.6. Структурная схема приемника прямоугольного радиоимпульса на фоне гауссовского шума

z(t)

276 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Пример 9.4. В двоичной системе связи с фазовой телеграфией сигналы s1(t) и s2(t) , соответствующие символам «1» и «0», яв-

ляются противоположными

	s1(t) acos(	0t ) ;
	s2(t) acos( 0t		) s1(t) .
Принятие	решения основано		на сравнении величин
T	T

z(t)s1(t)dt E1 / 2 и		z(t)s2 (t)dt E2 / 2 . С учетом равенства энер-
0		0
гий правило принятия решения упрощается и принимает вид
T			T
z(t)cos(	0t )dt	0 "1" ,	z(t)cos( 0t )dt 0 "0". ◄
0			0

9.4.СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Вслучае приема сигнала известной формы, как было показано, устройство принятия решения (демодулятор) должно вычислять

значение корреляционного интеграла, которое и сравнивается с порогом, выбираемым в соответствии с принятым критерием эффективности. Устройство, вычисляющее корреляционный инте-

грал, называется коррелятором (рис. 9.7).

Коррелятор является нестационарным (параметрическим) устройством и включает генератор опорного колебания, совпадающего по форме с ожидаемым сигналом на интервале наблюдения, и интегратор, на выходе которого в момент окончания интервала наблюдения формируется значение, сравниваемое с порогом. В некоторых случаях удобнее использовать линейную стационарную (ин-

вариантную к сдвигу) цепь, которая вычисляет значение корреляционного интеграла и называется согласованным фильт-

ром. Этот фильтр, как и любая ли- T нейная инвариантная к сдвигу цепь, исчерпывающим образом

0описывается импульсной характе-

s(t)			ристикой hсф (t) , при этом выход-
Рис. 9.7. Структура коррелятора			ной сигнал определяется сверткой
			(интегралом Дюамеля), которая для

9.4. Согласованная фильтрация	277
момента t0 сравнения с порогом равна z(t)hсф (t0	t)dt , а с уче-
T
том финитности посылки z(t)hсф (t0 t)dt .

0

Учитывая, что в момент t0 на выходе согласованного фильтра

должно быть выработано значение корреляционного интеграла, приходим к выводу, что должно выполняться равенство

T T

z(t)hсф (t0 t)dt z(t)s(t)dt ,

0 0

откуда hсф (t0 t) s(t) , следовательно,

hсф (t) s(t0 t) . Импульсная характери-

стика согласованного фильтра, таким образом, совпадает по форме с ожидаемым сигналом, обращенным во времени

и задержанным на время t0 . Для выпол-

нения требования каузальности (причинности, физической реализуемости) фильтра, очевидно, необходимо, чтобы

t0 было не меньше, чем Т (рис. 9.8).

Найдем комплексную частотную характеристику согласованного фильтра:

s 0 (t)

t0 T

t

T

h сф(t)

t

t0 – T

t0

Рис. 9.8. Сигнал и импульсная характеристика согласованного фильтра

H				h (t)e j			s(t		t)e j t dt
	сф	( )			t dt			0
				сф
s( )e j (t0 )d e j t0 s( )e j										d
	e j					*	e j t0 S*( ) .
			t0	s( )e j	d

Таким образом, КЧХ согласованного фильтра является ком- плексно-сопряженной функцией по отношению к спектральной плотности ожидаемого сигнала, умноженной на фазовый множи-

тель, соответствующий задержке на t0 , необходимой для обеспечения каузальности.

278 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Для понимания физического смысла согласованной фильтрации целесообразно рассмотреть отдельно составляющие КЧХ: ам- плитудно-частотную и фазочастотную характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика совпадает по форме с модулем спектральной плотности сигнала. Это означает, что согласованный фильтр имеет больший коэффициент передачи для более интенсивных частотных компонент сигнала («подчеркивает» сильные гармоники и подавляет слабые).

Фазочастотная характеристика состоит из двух сомножителей,

а именно: аргумента функции S*( ) , обратного фазовому спектру (спектральной плотности фазы) сигнала, и фазового множителя

e j t0 . Первый сомножитель обеспечивает суммирование всех частотных компонент сигнала «в фазе», благодаря чему в момент

времени t , обусловленный множителем e j		t0 , имеет место мак-
0
симальное значение отклика, численно равное энергии сигнала115
T	T
s(t)hсф (t0 t)dt s(t)s(t)dt Es .
0	0
Для произвольного момента времени t 0, T отклик согласо-
ванного фильтра на «свой» сигнал
T	T
s( )hсф (t )d	s( )s(t0 t )d	Bs (t0 t) ,
0	0

где Bs (t) – автокорреляционная функция сигнала, которая, как из-

вестно, достигает максимума, равного энергии сигнала, при нулевом значении аргумента.

Согласованный фильтр для сигнала произвольной формы может быть реализован (приближенно) на основе линии задержки с отводами (рис. 9.9).

При подаче на вход 1 линии задержки с отводами ЛЗО короткого импульса (в идеале – -функции) на вход ФНЧ поступают (с интервалом t , обусловленным конструкцией линии задержки) такие же импульсы с амплитудами, определяемыми коэффициен-

тами усиления a0 , a1 , a2 , … an 1 . Тогда на выходе ФНЧ формиру-

ется сигнал, равный взвешенной сумме функций, получаемых сдвигами импульсной характеристики ФНЧ. В частности, если

115Очень важно понимать, что здесь имеется в виду значение напряжения на выходе фильтра.

9.4. Согласованная фильтрация

279

ФНЧ является идеальным с П-образной КЧХ и частотой среза Fв , то его импульсная характеристика имеет вид

sin 2 Fвt , 2 Fвt

а отклик устройства на короткий импульс, поданный на вход 1, представляет собой конечную сумму ряда Котельникова

n 1		sin[2 Fв (t		k t)]	,
sˆ(t) a
k 0	k	2 Fв (t k t)
аппроксимирующую сигнал		s(t) требуемого вида. Нетрудно ви-

деть, что если короткий импульс подать на вход 2, то отклик будет зеркальной копией сигнала s[(n 1) t t]. Коэффициенты a0 , a1 ,

a2 ,…, an 1 представляют собой отсчеты сигнала s(t) с шагом, определяемым верхней частотой Fв спектра сигнала.

Следует иметь в виду, что такой способ реализации согласованного фильтра является хотя и универсальным, но заведомо приближенным, так как любой сигнал конечной длительности имеет нефинитную спектральную плотность, а идеальный ФНЧ нереализуем (см. разд. 2.11). Тем не менее этот способ применяется на практике; например, для согласованной фильтрации сигналов с линейной частотной модуляцией используют в качестве линий задержки с отводами интегральные устройства на поверхностных акустических волнах (ПАВ).

Очевидно, форма сигнала на выходе согласованного фильтра отличается от формы сигнала на его входе. Это естественно, так

Рис. 9.9. Согласованный фильтр на основе линии задержки с отводами

280 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

как назначение согласованного фильтра состоит в вычислении корреляционного интеграла для наиболее надежного принятия решения о наличии или отсутствии сигнала на входе приемника. Иными словами, согласованный фильтр должен обеспечивать мак-

симальное отношение сигнал/шум в момент времени t0 . Убедимся,

что это действительно так при условии, что входной шум является белым стационарным процессом с нулевым средним.

Пусть на вход фильтра с импульсной характеристикой h(t) воздействует процесс z(t) s(t) (t) , где (t) – белый стационар-

ный шум с нулевым средним, тогда сигнальная составляющая выходного процесса

																	t0
								uc (t0 )										s( )h(t0 )d ,
																	0
а шумовая составляющая
																	t0			( )h(t0 )d .
							uш (t0 )
																	0
Так как		0 ,						то													t0					h(t0					)d		0 , поэтому дис-
	(t)												uш (t0 )									(		)
																					0
персия шумовой составляющей выходного процесса равна средне-
му квадрату, а поскольку															(t) – белый шум,
																	2			u2		(t		)
																	ш				ш	0
	t0 t0															h(t0			1)h(t0 2 )d 1d 2
						( 1) ( 2 )
0 0
	t0 t0 N					0		(									)h(t						)h(t									)d		d
										1					2				0			1					0				2		1		2
				2
0 0
									N		0			t0	h2 (t							)d					N		0	E		,
																		0
										2				0														2			h

где Eh – энергия импульсной характеристики.

9.5. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приема

281

Отношение сигнал/шум по мощности в момент отсчета составляет

2

t0

s( )h(t0 )d

2

2uс2 (t0 )

q

0

.

N0Eh

N0Eh

Заметим, что согласно неравенству Шварца

t

2

t

t

0 s( )h(t0 )d

0 s2

( )d 0 h2 (t0 )d

0

0

0

и равенство достигается лишь

тогда, когда h(t) As(t0 t) при

произвольном коэффициенте A . Таким образом, в момент t0 среди

всех ЛИС-цепей именно согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал/шум на выходе. Умножение импульсной характеристики на коэффициент A не влияет на отношение сигнал/шум (почему?).

9.5.ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ КОГЕРЕНТНОГО ПРИЕМА

Напомним, что по определению В.А. Котельникова потенциальной помехоустойчивостью называется максимум вероятности правильного решения, достижимый при заданных условиях приема сигналов на фоне помех (шумов). Определим потенциальную по-

мехоустойчивость приема двух сигналов			s1(t) и s0(t) известной
формы на фоне белого гауссовского шума при равных априорных
вероятностях сигналов.
Алгоритм принятия решения в приемнике, реализующем кри-
терий максимума правдоподобия, кратко запишем в виде
T	1	T
z(t)s1(t)dt E1 / 2		z(t)s0 (t)dt E0 / 2 .
0	0	0
Это выражение можно привести к виду
T		1	E0)/ 2 .
z(t)[s1(t) s0 (t)]dt (E1
0		0

282 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Ошибки при приеме состоят в том, что при передаче первого сигнала принимается решение о приеме второго и наоборот. Поскольку гауссово распределение симметрично и априорные вероятности равны, легко видеть, что суммарная (средняя) вероятность ошибки равна любой из условных вероятностей ошибок (убедитесь в этом!).

Найдем условную вероятность ошибки, т. е. вероятность события, заключающегося в принятии решения о наличии сигнала s0(t)

при условии, что в наблюдаемом колебании присутствует сигнал s1(t) . Это событие соответствует выполнению неравенства

T												(E1 E0)/ 2 ,
[s1(t)		(t)][s1(t) s0 (t)]dt
0
которое можно переписать в виде
T	(t)dt	T											T
s2				(t)[s (t) s (t)]dt s (t)s (t)dt
1						1		0						1	0
0		0											0
				1	T		(t)dt		1	T		(t)dt .
					s2					s2
				2	0	1			2	0	0
Проведя очевидные преобразования, получим
T	(t)[s (t)				s	(t)]dt			1 T		[s		(t)		2	dt .	(9.9)
															s (t)]
0	1				0				2	0	1				0

Левая часть неравенства представляет собой случайную величину (так как это интеграл по времени от случайного процесса (t)

с весом, равным разности сигналов s

(t) [s1(t) s0(t)]), имеющую

нормальное распределение (поскольку процесс (t)

гауссов) с ну-

левым средним (очевидно); обозначим ее

и найдем ее средний

квадрат, равный дисперсии:

T T

D 2

s (t1)s (t2 )dt1dt2

(t1) (t2 )

0 0

N

0

T T

N

0

T

N

0

E

(t

t

2

)s

(t )s

(t

2

)dt dt

2

s2

(t)dt

. (9.10)

2

1

1

1

2

2

0 0

0

Вероятность выполнения неравенства (9.9) – это, очевидно, вероятность того, что нормальная случайная величина с нулевым