Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

9.5. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приема

283

средним и дисперсией

N0E / 2

принимает значение меньше, чем

E / 2. Эта вероятность равна

E

/ 2

1

2

1

t2

2D d

p

e

e

2 dt ,

10

2 D

2

где t

/

D

– центрированная нормальная случайная величина

с единичной дисперсией, а

E / 2

– положительное чис-

D

ло. Очевидно,

p

зависит только от

E

/ 2

E

, по-

D

10

2N0

этому можно ввести функцию

1

t2

Q(x)

e

2 dt 1 (x) ,

2

x

1

x

t2

где

(x)

e

2 dt

–

интеграл

вероятности, и

записать

2

E

p

Q

. (Напомним, что в силу симметрии гауссовского

10

2N0

распределения p10

p01 .)

Таким образом, условная вероятность ошибки, равная средней

вероятности ошибки при когерентном приеме сигналов на фоне белого шума, определяется энергией разностного сигнала s (t) и

спектральной плотностью мощности шума N0 .

Рассмотрим потенциальную помехоустойчивость двоичного когерентного приемника максимального правдоподобия для различных способов модуляции, считая, что энергия сигнала E фик-

сирована.

1. Амплитудная телеграфия с пассивной паузой

В этом случае s0 (t) 0 и энергия разностного сигнала равна E

(норма равна E ), рис. 9.10, а. Следовательно, потенциальная помехоустойчивость определяется средней вероятностью ошибки

		E
pАТ-ПП Q			.
ош		2N0

284 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

S1	S0				E
				S0
						S1
E		2E
				S1
S0
а	б				в

Рис. 9.10. К помехоустойчивости приема двух сигналов

2. Частотная телеграфия с ортогональными сигналами

Два сигнала представляют собой радиоимпульсы одинаковой формы с различными несущими частотами, так что сигналы взаимно ортогональны (рис. 9.10, б). Энергия разностного сигнала равна 2E , а средняя вероятность ошибки

		E
pЧТ Q			.
ош		N0

Повышение потенциальной помехоустойчивости при переходе от АТ-ПП к частотной телеграфии представляется естественным, так как во втором случае вдвое возрастает средняя мощность передатчика. Однако средняя вероятность ошибки может быть дополнительно понижена без увеличения мощности передатчика, если перейти к взаимно обратным сигналам.

3. Фазовая телеграфия с манипуляцией фазы на 180

В случае фазовой телеграфии с взаимно обратными сигналами (рис. 9.10, в) энергия разностного сигнала составляет 4E , средняя вероятность ошибки равна

		2E
pФТ Q
ош		N0

и дальнейшее повышение потенциальной помехоустойчивости за счет выбора сигналов при заданной энергии, очевидно, невозможно.

Заметим, что если используются три сигнала одинаковой энергии, то для достижения максимальной помехоустойчивости они

должны иметь взаимный фазовый сдвиг 120 , т. е. соответствующие сигналам точки должны располагаться на окружности радиуса

9.6. Некогерентный прием

285

E в вершинах равностороннего треугольника (рис. 9.11). Если сигналов четыре, то оптимальным является их размещение в вершинах правильного тетраэдра,

вписанного в сферу радиуса E . В общем случае оптимальный выбор системы из n сигналов соответствует их расположению в

вершинах	правильного	(n 1) -мерного
симплекса,	вписанного в	(n 1) -мерную
сферу116.

9.6. НЕКОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЕМ

Рис. 9.11. К помехоустойчивости приема трех сигналов

На практике иногда не удается обеспечить условия для когерентного приема сигналов, так как один или несколько параметров принимаемого сигнала оказываются неизвестными. Такая ситуация типична, например, для систем спутниковой связи, радиосвязи с подвижными объектами, и т.п., поскольку расстояние между передатчиком и приемником изменяется случайным образом. Это приводит, в частности, к тому, что меняется начальная фаза несущего колебания. Если изменение происходит настолько медленно, что

соседние посылки имеют практически одинаковую начальную фазу, то ее можно оценить и оценку использовать вместо точного значения при организации приема. Такой прием называют квазикогерентным. Если же начальная фаза изменяется (флюктуирует)

быстро или устройство оценивания оказывается слишком слож-

ным, тогда рассматривается задача приема сигнала со случайной начальной фазой, или некогерентного приема.

Перепишем выражение (9.7) для логарифма отношения правдоподобия при приеме сигнала s(t) :

		2	T		1	T	2
ln			z(t)s(t)dt			s		(t)dt .	(9.11)
		N0 0			N0 0

Сигнал при некогерентном приеме известен с точностью до начальной фазы, поэтому обозначим его s(t, ) и запишем

s(t, ) Re s(t)e j .

116Отрезок, треугольник и тетраэдр являются одномерным, двумерным и трехмерным симплексами.

286 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

В этом выражении неизвестная начальная фаза сигнала представ-

лена комплексным фазовым множителем e j при аналитическом комплексном сигнале s(t) , который определяется выражением

s(t) s(t) jsˆ(t) ,

где вещественная и мнимая части связаны парой преобразований Гильберта

sˆ(t) 1

s( )

d ,

t

s(t) 1

sˆ( )

d .

t

Тогда, очевидно,

s(t, ) Re s(t) jsˆ(t) cos

j sin

s(t)cos

sˆ(t)sin .

Корреляционный интеграл в выражении (9.11) в таком случае

приобретает вид

T

T

T

z(t)s(t,

)dt z(t)s(t)cos dt z(t)sˆ(t)sin

dt

0

0

0

T

j sin

dt

Re z(t) s(t) jsˆ(t) cos

0

T

j

T

Re

dt

j

z

z(t)s(t)e

Re

e

(t)s(t)dt

0

0

Re

j

j

Ve

j

.

(9.12)

e

V

Re e

В полученном выражении фигурирует комплексная величина

V , имеющая смысл корреляционного интеграла для аналитического сигнала s(t) :

T	T	T
V z(t)s(t)dt z(t)s(t)dt j z(t)sˆ(t)dt ,
0	0	0

9.6. Некогерентный прием					287
где, очевидно,
	T	2	T		2
V	z(t)s(t)dt		z(t)sˆ(t)dt		;
	0		0

	T	z(t)sˆ(t)dt
arctg	0		.
	T
		z(t)s(t)dt
0

Корреляционный интеграл согласно (9.12) можно переписать в виде

T
z(t)s(t,	)dt V cos(	) ,
0

тогда логарифм отношения правдоподобия

ln		2		V cos(			)		1		E ,
		N0							N0
а само отношение правдоподобия
				2	V cos(	)		1		E
	e N0					e		N0 .

Считая, что начальная фаза сигнала является случайной величиной, имеющей равномерное в интервале (0, 2 ) распределение,

выполним усреднение отношения правдоподобия по ансамблю:

	E		1		2	2V		cos(	)
	N					N
e		0			e		0		d .
			2
					0

Учтем известное соотношение

	1	2
		ea cos(	)d	I0 (a) ,
	2
		0

где I0 (a) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, тогда

		E		2V
	e	N0 I0			.
				N0

Правило некогерентного приема сигнала со случайной равновероятной начальной фазой на фоне гауссовского шума должно

быть основано на сравнении величины

с некоторым порогом, а

288 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

правило различения двух сигналов – на сравнении двух отношений правдоподобия между собой. Предположим, что рассматривается

прием двух сигналов s1(t) и s0(t) . Сравнение усредненных отношений правдоподобия можно заменить сравнением их логарифмов

2V				E	1	2V				E
ln I0	1			1			0			0
	N0				ln I0		N0			N0	,
				N0 0

или сравнением с порогом разности логарифмов

2V				2V			1	E E
ln I0	1			ln I0	0			1 0	.
	N0				N0			N0
							0

Алгоритм сильно упрощается, если энергии сигналов равны, в этом случае в силу монотонности функции I0 можно сравнивать

между собой величины V1 и V0 :

1

V V .

1 0

0

Структурная схема корреляционного приемника, реализующего это правило, показана на рис. 9.12. Для каждого из сигналов реализуется корреляционный прием раздельно по двум квадратурным составляющим, после чего квадраты огибающих поступают на решающее устройство РУ, выполняющее их сравнение.

Рис. 9.12. Структура некогерентного приемника двух сигналов с равными энергиями

9.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приема

289

То же правило можно реализовать с использованием согласованных фильтров по схеме рис. 9.13. Здесь вычисление величин V1

и V0 производится устройством, называемым детектором огибающей ДО.

СФ1

ДО

1

z(t)

РУ

0

СФ2

ДО

t0

Рис. 9.13. Структура некогерентного приемника двух сигналов с использованием согласованных фильтров

9.7.ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ НЕКОГЕРЕНТНОГО ПРИЕМА

Определим потенциальную помехоустойчивость некогерентного приема на примере системы с пассивной паузой при равных априорных вероятностях посылок

s1(t) Acos( t ) ,		s0 (t) 0 ;		p1 p0 0,5.
Средняя вероятность ошибки равна
	pош 0,5p01 0,5p10
Vп			V | H0 dV .
0,5	w1 V | H1 dV 0,5 w0
0		Vп
Здесь w1 V | H1 и	w0 V | H0	– условные плотности распределе-

ния вероятности огибающей корреляционного интеграла при условии гипотез о передаче сигналов s1(t) и s0(t) соответственно, Vп –

порог (рис. 9.14).

При гипотезе H0 значение огибающей обусловлено только

шумом, тогда квадратурные составляющие являются независимыми нормальными случайными величинами с нулевыми средними и

дисперсиями N0E / 2 [см. разд. 3.6, а также выражение (9.10)].

290 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

w(V)

w0(V|H0) w1(V|H1)

Vп

V

Рис. 9.14. Выбор порога при некогерентном приеме

Условная плотность распределения вероятностей огибающей имеет рэлеевский вид

				2V		V 2
	w (V | H	0	)		e	EN0 .
	0			EN0

Если наблюдаемое колебание содержит сигнал s1(t) , то оги-

бающая имеет обобщенное рэлеевское распределение (распределение Рэлея – Райса)

2V

V 2 E2

2V

w (V | H )

e

EN0 I

0

.

N0

1

1

EN0

Средняя вероятность ошибки равна

V

V 2 E2

2V

2V

V 2

p

1

п

2V

e

EN0

I

dV 1

e

EN0 dV . (9.13)

EN0

ош

2

0 EN0

0

N0

2V

п

Второй интеграл берется по частям, при этом

V 2 E2

V 2

1

V

2V

2V

п

p

п

e

EN0 I

0

dV

1 e

EN0 .

2

ош

0 EN0

N0

2

Оптимальное значение порога, при котором достигается потенциальная помехоустойчивость некогерентного приема, является

решением уравнения dpош / dVп 0 .

9.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приема

291

Взяв производную и приравняв ее нулю, получим

V 2 E2

V 2

2Vп

п

2Vп

2Vп

п

e

EN0 I0

e

EN0 0

EN0

N0

EN0

или

E

2Vп

e N0 .

I0

N0

Точно решить полученное уравнение не удается. Прологарифмируем обе части выражения:

				2Vп		E
			ln I0				.
	Известно, что			N0		N0
					x, x 1,
			ln I0 x
				x2 / 4, x 1.
	Поэтому оптимальный порог определяется приближенными
	выражениями
	E / 2 при больших отношениях сигнал/шум,
	Vп opt
		EN0	при малых отношениях сигнал/шум.

Подставляя в (9.13) порог E / 2 , получим среднюю вероятность ошибки при больших отношениях сигнал/шум (ОСШ):

1

E / 2

2V

V 2 E2

2V

E

p

e

EN0

I

0

dV

1 e

4N0 .

2

EN0

ош

0

N0

2

При больших ОСШ ( E / N0 10 ) первым слагаемым можно пренебречь, тогда

1 E pош 2 e 4N0 .

Аналогично можно проанализировать помехоустойчивость приема двух ортогональных частотно-манипулированных сигналов; для этого случая средняя вероятность ошибки

1 E pош 2 e 2N0 .

292 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Сигналы с фазовой манипуляцией при случайной начальной фазе каждой посылки, очевидно, применять при некогерентном

приеме нельзя. Однако при медленных изменениях фазы можно использовать относительную фазовую манипуляцию, при которой

начальная фаза следующей посылки совпадает с начальной фазой предыдущей посылки при передаче символа «0» и отличается от

нее на 180 – при передаче символа «1». При этом средняя вероятность ошибки [10]

1 E pош 2 e N0 .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое потенциальная помехоустойчивость?

2.Как формулируется задача синтеза оптимального демодулятора?

3.В чем состоит сущность критерия Байеса?

4.Что такое средний риск?

5.Что такое гипотеза?

6.Что такое отношение правдоподобия?

7.Запишите правила проверки гипотез на основе логарифма отношения правдоподобия для критериев Байеса, идеального наблюдателя и максимального правдоподобия.

8.Чем отличается когерентный прием от некогерентного?

9.Что такое согласованный фильтр?

10.Какую форму имеет сигнал на выходе согласованного фильтра, когда на его вход воздействует «свой» сигнал? «чужой» сигнал? шум?

11.Что удобнее применять на практике – коррелятор или согласованный фильтр?

12.Можно ли реализовать согласованный фильтр для сигнала произвольной формы с любой заданной точностью?

13.Как следует выбирать совокупность сигналов одинаковой энергии для обеспечения максимальной помехоустойчивости?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Для когерентного приема сигнала в системе амплитудной телеграфии с пассивной паузой методом однократного отсчета выбран порог, равный 2 В. Известно, что порог оптимален с точки зрения критерия максимального правдоподобия, в то же время ап-