Непрерывные функции

11

ЛЕКЦИЯ 7.ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНЫЕ НА ОТРЕЗКЕ

Непрерывность функции на множестве

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции)

Теоремы о корнях непрерывной функции:

теорема Больцано - Коши о нуле непрерывной функции

теорема о прохождении непрерывной на отрезке функции через любое промежуточное значение

Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Определение функции равномерно непрерывной на множестве. Теорема Кантора

7.1Непрерывность функции на множестве

Определение. Функция f : R называется непрерывной на множе-

стве , если она непрерывна в каждой точке этого множества:

x0 0 0 x x x0 f x f x0 .

Пусть U R, x0 U .

7.2 Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)

Пусть	f : a,b R.
Определение. Будем говорить, что f непрерывна на a,b (запись:
f C a,b ),	если f непрерывна в любой точке x0 a,b , непрерывна в точке
a справа и в	b слева.

ТЕОРЕМА 1 (Первая теорема Вейерштрасса)

Функция непрерывная на отрезке, ограничена на нём.

Доказательство. Теорему докажем от противного. Предположим, что

f C a,b не является ограниченной на a,b , то есть M x a,b :		f x		M.

Пусть M n, n .

11

12

M 1: x1 a,b : f x1 1,

M 2: x2 a,b : f x2 2,

………………………………

M n: xn a,b : f xn n.

		То есть	для n существует точка	xn a,b , для	которой
f xn		n lim	f xn .
		n
		Последовательность xn ограничена, так как все точки			xn a,b .

Тогда по теореме Больцано – Вейерштрасса существует сходящаяся подпосле-

довательность x	: lim x	nk	x	, причем a x	b. По теореме о предельном
nk	k			0	nk

переходе в неравенствах для последовательностей: a x0 b, т. е. x0 a,b .

Функция f непрерывна в точке x0 , поэтому
lim				(1)
	f x	f x
k		nk	0
(предел по Гейне). Но так как lim	f xn , то
n
lim				(2).
	f x	.
k	nk

Мы пришли к противоречию (сравните (1) и (2)), которое и завершает доказа-

тельство теоремы.

Замечание. Для функций, непрерывных на интервале, утверждение пре-

дыдущей теоремы, вообще говоря, не верно. В этом легко убедиться, на приме-

ре функции f x : 1. Эта функция непрерывна, но не ограничена на (0,1). x

7.3 Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и

нижней граней непрерывной на отрезке функции)

Пусть f : R, ограничена на множестве и пусть

m: inf f x , x , M : sup f x , x .

12

				13
Тогда для x	m f x M .
Определение. Будем говорить, что функция					f достигает своей точ-
ной верхней грани (нижней грани)				на R,	если : f M
: f m .
		x,	2 x 0,
Пример 1.	f x	1,	x 0,	Здесь sup f x , 2,1 .
				x
		1 x, 0 x 1.
	y

1 x

у

1

-1 0

1

у

1

-1 0 1

Пример							2.	1,	1 ,
1 x, 1 x 0,
	1
f x				,		x 0,
	2
1 x, 0 x 1.
х								но нет числа 1,1
Здесь sup f x 1,
x
такого, что						f 1.
Пример							3.		1, 1 ,
f x 1			x			1 x, 1 x 0,
						1 x,		0 x 1.
Здесь sup f x 1,								0 1, 1 : f 0 1,

x

х то есть f x достигает точной верхней гра-

13

14

ни на

1,1 .

ТЕОРЕМА 2 (Вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция

f x

непрерывна на отрезке a,b , то она достигает на

этом

отрезке

своей

точной верхней

и точной нижней

граней, то

есть

, a,b такие, что f f x f

x a,b .

Доказательство. Доказательство проведём от противного. Предполо-

жим, что x a,b

f x M .

1

x a,b . Так как M

Рассмотрим функцию

F x

0

f (x),

M f x

то функция F(x) непрерывна на отрезке a,b .

Тогда по первой теореме Вей-

ерштрасса

K R

x a,b

0 F(x) K ,

то

есть

1

K f x M

1

, то есть

M не является наименьшей верхней

M f (x)

K

границей, то есть супремумом.

	f (x)			M	1		M	x
					K
В самом деле, если :			1	, то нет x a,b , таких, что M						1	f (x) M .
		K								k
Для точной нижней грани доказательство аналогично.
Таким образом, для непрерывной на отрезке a,b функции можно гово-
рить о максимальном (минимальном) значении:
max f (x)			sup f (x) M ,				min f (x)	inf f (x) m.
x a,b			x a,b				x a, b	x a, b

7.3 Теоремы о корнях непрерывной функции

ТЕОРЕМА 3 (теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции)

Пусть f C a, b и f a f b 0. Тогда c a, b такое, что f c 0.

14

15

y

f b

0

a

с

b

x

f a

Доказательство. Пусть

f a 0,

f b 0. Разделим отрезок a, b

попо-

лам:

a b

a b

1)

если

f

0, то

c

;

2

2

a b

a b

a1,

b1 ,

f a

0

f b

;

2)

если

f

0, то обозначим

a,

2

2

1

1

a b

a b

a1,

b1 ,

f a

0

f b

.

3)

если

f

0, то обозначим

,

b

2

2

1

1

Заметим, что длина отрезка a1,

b1

в два раза меньше длины отрезка

a,

b .

Разделим теперь отрезок a1, b1 пополам и повторим предыдущие рас-

суждения. То есть, если в точке деления функция обращается в ноль, то нужная точка уже найдена. В противном случае выберем тот из получившихся отрез-

ков, в концах которого функция принимает значения разных знаков. Обозначим

этот отрезок a2, b2 и заметим, что

Продолжим этот процесс. Если

f a	2		0 f b и b a									1	b a .
							2	2		2	2		1		1
a				n	b				a		b
f					n		0, то c			n		n		.
					2						2

Если мы не встретим нуль функции на каком-то шаге, то получим после-

довательность	вложенных	отрезков	an,	bn ,	длины	которых
		15

16

b a

b a

0. Значит, согласно лемме Коши-Кантора о вложенных

n

n

2n

n

an,

bn .

отрезках существует точка c

n 1

Докажем,

что

f c 0. Так как последовательность an и ограничена,

lim a

n

supa

n

: . Так

как

последовательность

b

и ограничена,

n

n N

n

lim

b

inf b

: .

Для

каждого

n N

, a ,

b ,

следовательно,

n

n

n N n

n

n

с.

Функция

f x непрерывна в точке c a,

b , поэтому

lim f a

f c ,

lim

f b f c .

n

n

n

n

f an 0 lim

f an 0 f c 0,

(1)

n

f bn 0 lim

f bn 0 f c 0.

(2)

n

Из (1) и (2) вытекает, что f c 0. Теорема доказана.

Следствие (теорема о прохождении непрерывной на отрезке функ-

ции через любое промежуточное значение)

Пусть f C a,

b и

f a f b . Тогда для любого числа C, заключенно-

го между f a и f b , существует такое c a,

b , что

f c C .

у

f b

C

а

f a	с		в	х

Доказательство.	Рассмотрим функцию g x : f x C. Функция	g x
непрерывна на a, b и	g a g b 0. Согласно теореме Больцано-Коши о нуле
	16

	17
непрерывной функции c a,	b :g c	0, то есть	f c C. Теорема доказана.

	Следствие. Если функция f x непрерывна на a, b , то
	f a, b m,				M ,			(3)
где	m inf f x :x a, b , M sup f x : x a, b .
	Доказательство. Для каждого x a, b m f x M , поэтому
	f a, b m,				M .			(4)
По теореме Вейерштрасса a, b : f m, a, b : f M .
	Пусть (если f	const). Имеем , :				f m,		f M .
По	теореме Больцано-Коши о	промежуточных значениях					C:m C M
c , a, b : f c C. То есть мы доказали, что функция							f x принимает
все значения от m до M , следовательно,
	m,	M f a,			b .			(5)
	Из (4) и (5) вытекает (3).
	Другая формулировка следствия:
	Если f C a, b , то f a, b
				min f x , max f x .
					x a,b
			x a,b

7.4 Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обрат-

ной функции

Лемма. Функция f : a, b R, монотонная на a, b , непрерывна на нем

тогда только тогда, когда, f a,

b f a ,

f b .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

ТЕОРЕМА. Пусть функция f : a, b R строго возрастает (убывает) и

непрерывна на a, b . Тогда:

A) f a, b f a ,	f b ;
B) f : a, b f a,	b обратима;

17

	18
C) обратная функция f 1 : f a,	b a,	b непрерывна и строго возрас-
тает (убывает) на f a , f b .

Доказательство.

А) Смотри лемму.

B) Отображение f : a, b f a, b биективно и, значит, обратимо. (Смотри Обратное отображение (Лекция №4)).

С) Пусть f x

строго возрастает

на a,

b .

Покажем, что f 1 y

строго

возрастает на f a ,

f b . Пусть

x

f 1 y , x

f

1 y . Тогда

f x

y ,

f x2 y2. Для y1, y2 f a ,

1

1

2

2

1

1

f b :

y1 y2

x1 x2 . В

самом

деле,

если

x1 x2 f x1 f x2 , то есть y1 y2; если

x1 x2

f x1 f x2 , то есть

y1 y2. Поэтому x1

x2.

Так

как

f 1 y

строго

возрастает

на

f a ,

f b

и

f 1 f a ,

f b a,

b , то по лемме f 1 непрерывна на f a , f b . Теорема

доказана.

7.5 Определение функции равномерно непрерывной на множестве. Теорема

Кантора

Пусть функция непрерывна на множестве (промежутке) X . Это значит, что

для любой точки x0 X и

0 , x0 0 x X (x x0 f (x) f (x0) ). Здесь зависит и от и от x0 .

Понятие равномерной непрерывности – это более сильное ограничение на функцию.

Определение. Функция f (x)называется равномерно непрерывной на множестве X , если для любого

0 0 x1,x2 X (x1 x2 f (x1) f (x2) ).

18

19

Здесь зависит только от .

Таким образом, для равномерно непрерывной функции значения функции близки, как только близки значения аргументов, где бы они не находились.

Если функция равномерно непрерывна на промежутке X, то она также яв-

ляется непрерывной на нем. Обратное неверно, как видно из следующих приме-

ров.

Пример. Покажем, что функция y x2 не является равномерно непрерыв-

ной.

Для функции y x2 на всей числовой прямой

x0 x 2 x0 2 2x0 x x 2 2x0 x. Значит, зависит и от и от x0 . Поэтому функция не является равномерно непрерывной.

Пример. Покажем, что функция sin1 не является равномерно непрерыв- x

ной на множестве X 0, 2 .

Заметим, что D f R \ 0 . Точка x0 0является предельной для D f .

Рассмотрим две последовательности:

1

0,

n , для нее

f x

n

x n

n sin n 0,

1

n

x

0, n ,

для нее

f x sin

n 1 .

2

n

n

n

2

Тогда

f x

1,

1

0,

n . Таким образом,

n f x

n

xn

xn

2n 1 n

X 0, 2 .

для 1 нельзя найти единого 0для всех точек из

Однако, если функция непрерывна на отрезке, то ситуация меняется.

ТЕОРЕМА Кантора. Если функция непрерывна на отрезке, то она рав-

номерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть функция f (x)не явля-

ется равномерно непрерывной на a,b . Тогда

19

20

0 0 0 x1 a,b, x2 a,b, (

x1 x2

f (x1) f (x2)

0).

При каждом n N возьмем

1

. Тогда

n

n

n

n

n

1

n

n

x

a,b , x

a,b ,

x

x

f

(x

) f (x

)

. По тео-

1

2

1

2

n

1

2

0

реме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности x1n мож-

но выделить сходящуюся к некоторой точке x0 a,b подпоследовательность.

Чтобы не усложнять обозначений, будем считать, что уже сама последователь-

ность x n	x		. Тогда x		n	x	, т. к.				x n	x n				1			. Поскольку функция не-
1			0		2		0				1	2				n
прерывна		в		точке		x	,		то			f (x n ) f x								, n .	Тогда
						0						1								0
f (x n ) f x		0	,	n .	Отсюда				f (x	n ) f (x n )								0,		а это противоречит
2									1			2

тому, что f (x1n ) f (x2n ) 0 . Значит, предположение неверно, и функция

равномерно непрерывна на отрезке a,b .

20