Неопределенный интеграл1

ЛЕКЦИЯ 14. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

14.1.Первообразная и неопределенный интеграл

ØПервообразная и ее связь с неопределенным интегралом

ØСвойства неопределенного интеграла

ØТеорема о существовании первообразной

ØТаблица неопределенных интегралов Первообразная и ее связь с неопределенным интегралом

Основная задача дифференциального исчисления: по данной функции f

найти ее производную f ′		( f → f ′).
Многочисленные вопросы науки, экономики, техники приводят к поста-
новке	обратной задачи:		отыскание функции		f по	ее производной
f ′ ( f	→ f ′).
Определение. Пусть			f : R →R	и множество	X D f	не имеет изолиро-
ванных точек. Функция		F : R → R		называется первообразной функции f на
множестве X , если X D f			и x X

F′(x)= f (x) .

Например, пусть f (x)= cos3x . Тогда первообразная имеет вид

F(x)= 13sin 3x , так как F¢(x)= 13 cos3x ×3 = cos3x .

В дальнейшем для всех функций этого параграфа считаем, что множество X является промежутком из D f , содержащим более одной точки.

Определение. Функция F(x) называется обобщенной первообразной для f (x) на X , если F(x) непрерывна на X и для x X \{Kn}, где Kn – множе-

ство, состоящее не более чем из n точек, имеем F′(x)= f (x).

1

Например, функция F(x)= x является обобщенной первообразной для

функции f (x)= sgn x , так как x непрерывна x R и x ′ = sgn x , x ¹ 0.

	′
Замечание. Соотношение F (x)= f (x) определяет функцию F(x) неодно-
значно.
Пример.	а)(cos2x)′ = −2sin 2x ; б)	(− 2sin2 x)′ = −2sin 2x . Здесь
f (x)= −2sin 2x	и в случае а), и в случае б). Однако в случае а) первообразная

равна cos2x , а в случае б) − 2sin2 x .

Справедлива

ТЕОРЕМА 1. Если F(x) – первообразная для функции f (x) на множест-

ве X , то все первообразные для функции		f (x) имеют вид F(x)+ C , где C –
произвольная постоянная.
Доказательство. Пусть F(x)	–	первообразная		для	f (x).	Тогда
′		′	′
	C (F(x)+ C)					то есть
F (x)= f (x). Для любой постоянной			= F (x)+ 0 = f (x),
F(x)+ C – также первообразная для f (x).
Обратно, пусть наряду с данной первообразной F(x)				функция F1(x) яв-
				′	′

ляется первообразной f (x). Тогда выполняются равенства F1(x)= F (x)= f (x),

откуда (F1(x)− F(x))′ = 0. По теореме Лагранжа о конечных приращениях раз-

ность этих двух первообразных F1(x)− F(x)= C , или

F1(x)= F(x)+ C .

Теорема доказана.

Определение. Множество всех первообразных для данной функции f (x)

на множестве X называется неопределенным интегралом этой функции и обо-

значается ò f (x)dx ( f – подынтегральная функция, x – переменная интегриро-

вания).

Таким образом, если F(x) первообразная для f (x) на X , то по теореме 1

2

ò f (x)dx = {F(x)+ C C R}.

Обычно используют более простую запись

ò f (x)dx = F(x) + C ,

не забывая, что это множество функций; при этом C называют произвольной постоянной.

ТЕОРЕМА 2 (о существовании первообразной). Если функция f (x) не-

прерывна на X , то она имеет на этом множестве первообразную.

Так как символ ò f (x)dx обычно трактуют как одну из первообразных

функции f , то наряду со словами «функция f обладает первообразной» упот-

ребляют фразу «существует интеграл ò f (x)dx ».

Доказательство будет приведено позже (см. )

Операция интегрирования функций не всегда приводит к функциям, ко- торые выражаются через элементарные. Например, следующие интегралы:

òe− x2 dx			– интеграл Пуассона, ò	dx	– интегральный	логарифм, ò	sin x	dx ,
				ln x
							x
ò	cos x	dx	– интегральный синус и косинус, òcos x2dx ,			òsin x2dx – интегралы
	x

Френеля существуют, однако не выражаются через элементарные функции.

Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифферен- циала функции.

Напомним, что если u(x) – дифференцируемая в точке x функция, то про-

′	соответ-
изведение u (x)dx является дифференциалом функции u(x) в точке x
ственно приращению аргумента dx = x:
′
u (x)dx = du(x)

3

Для первообразной F(x) функции f (x) из соотношения F ′(x) = f (x), x X

имеем dF(x) = F′(x)dx = f (x)dx или f (x)dx = dF(x) – подведение функции f (x)

под дифференциал.

Сформулируем и докажем основные свойства неопределенного интеграла.

1.(ò f (x)dx)′ = f (x), d (ò f (x)dx)= f (x)dx .

2.ò F¢(x)dx = F(x) + C , òdF(x)= F(x)+ C ,

Здесь равенства d (ò f (x)dx)= f (x)dx и òdF(x)= F(x)+ C еще раз демон-

стрируют, что дифференцирование и интегрирование – действия взаимно об-

ратные.
3. Пусть α R \ {0} и существует ò f (x)dx , тогда òa f (x)dx и
òa f (x)dx =aò f (x)dx	(14.1)

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интегра- ла.

4. Пусть существуют интегралы ò f (x)dx и ò g(x)dx , тогда существует

ò( f (x) + g(x))dx и

ò( f (x) + g(x))dx = ò f (x)dx + ò g(x)dx ,

(14.2)

т. е. неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций.

Из свойств 3 и 4 вытекает, что операция интегрирования – линейная опе- рация.

Докажем	1.	(ò f (x)dx)′	= (F(x)+ C)¢ = f (x)+ 0 = f (x).	Так	как
′	то d(ò f (x)dx)= (ò		′
u (x)dx = du(x),			f (x)dx) dx = f (x)dx , т. е. дифференциал не-

определенного интеграла равен подынтегральному выражению. Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак «d » стоит перед

знаком « ò ».

4

Докажем 2. òdF(x)= òF¢(x)dx = ò f (x)dx =F(x)+ C , т. е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа C . Иначе, если знак « ò » стоит рядом и перед знаком «d »,

то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции F(x) прибавляет-

ся произвольное число C .
Докажем		3.	По	первому	свойству	неопределенного		интеграла
(òa f (x)dx)′	= a f (x).		По	свойству	производной правая		часть	равенства
(a ò f (x)dx)′	= a (ò	f (x)dx)′		= a f (x).	Таким	образом,	a ò	f (x)dx	и

òa f (x)dx являются первообразными одной и той же функции α f (x). Следова-

тельно, левая и правая часть равенства в (14.1) отличаются друг от друга не бо- лее чем на некоторую постоянную величину.

Свойство 4 доказывается аналогично свойству 3.

Замечание. В (14.1) и в (14.2) равенства при нахождении интегралов но- сят условный характер: левая часть равна правой части с точностью до произ- вольной постоянной величины.

Таблица неопределенных интегралов

Каждая формула дифференциального исчисления

F′(x)= f (x)

равносильна формуле интегрального исчисления

ò f (x)dx = F(x)+ C .

Составим таблицу наиболее важных, основных интегралов.

1. ò1× dx = x + C (x R ).

xα+1

2. ò xαdx = a +1 + C , α ¹1 (x (0,+ ∞)), в частности,

ò dxx = 2x + C , ò dxx2 = - 1x + C .

5

3. ò dx	= ln		x		+ C (x Î R \{0}).
x

	4. òa xdx =					a x	+ C ,
						ln a
	5.	òsin x dx = - cos x
	7.	ò	dx		= tg x + C
			cos2 x

a > 0 , a ¹1 (x ÎR ), в частности, òexdx = ex + C .

+ C	(x ÎR ). 6. òcos x dx = sin x + C (x ÎR ).
æ	æ π	+ kπ , (k +1)π +	π	öö
ç x	Îç		2	÷÷ .
è	è 2			øø

8. ò

dx

= -ctg x + C

(xÎ(kπ , (k +1)π )).

2

x

sin

ì

x

dx

ï- arccos

+ C,

9.

ò

=

a

(

x

<

a

, a ¹ 0).

í

x

2

2

a

- x

ï

+ C,

ïarcsin

a

î

10. ò

dx

=

1

arctg

x

+ C , (x ÎR, a ¹ 0 ).

a

2 + x2

a

a

dx

11.

ò

= ln

x +

x2 + a2

+ C , (x ÎR,

a ¹ 0 ), «длинный» логарифм.

x

2

+ a

2

dx

12.

ò

= ln

x +

x2 - a2

+ C , (

x

>

a

,

a ¹ 0), «длинный» лога-

x

2

- a

2

рифм.

ò

dx

1

x - a

+ C ,

(x Î R \{- a, a},

a ¹ 0), «высокий» лога-

13.

=

ln

x2 - a2

рифм.

2a

x + a

14.

òsh x dx = ch x dx

(x ¹ 0). 15. òch x dx = sh x dx

(x ÎR ).

16.

ò

dx

= -cth x + C

(x ¹ 0). 17. ò

dx

= th x + C (x ÎR ).

2

2

sh

x

ch

x

Интегралы 1-17 принято называть табличными.

6

xα+1

Нахождение неопределенного интеграла – интегрирование подынте- гральной функции f (x) – обратное действие для дифференцирования первооб-

разной. Поэтому легко проверить правильность каждой из формул.

Например, докажем справедливость равенства ò dx

= ln

x

+ C .

x

Если

x > 0,

то

(ln

x

)¢ = (ln x)¢ = 1 ,

если

x < 0 ,

то

x

(ln x )¢ = (ln(- x))¢ = -1x × (-1)= 1x .

Итак, (ln x )¢ = 1x , а значит, ò dxx = ln x + C (x ¹ 0).

Пример 1. Вычислить ç

òæ 5 +

è x

Воспользуемся свойством

31x - 3x ö÷ødx.

линейности интеграла и формулой

ò xαdx = a +1 + C :

æ 5								1						ö		1							1			dx						−	1		1		dx		1
									- 3																			-ò3										- ò x3dx =
òç							+						x ÷ dx = 5ò							dx	+				ò						xdx = 5ò x		2dx +			ò
								3x															3			x									3		x
	è x											ø						x
											1	+1																	4
					1					x	3										1						3
= 5× 2 x +							ln x -								+ C =10 x +							ln x				-			x3	+ C.
				3						1											3						4
											+1
										3
Пример 2. Вычислить ò																			dx					.
																	x		4			2
																				+ x

Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции x2 , полу-

чим

ò

dx

=ò

(1+ x2 - x2 )dx

=ò

dx

- ò

dx

=ò x−2dx - ò

dx

=

x2 (1+ x2 )

x4 + x2

x2

1+ x2

1+ x2

=

x−2+1

− arctg x + C = −

1

− arctg x + C .

− 2 +1

x

7

Пример 3. Вычислить ò

dx

.

sin2 x cos2 x

Воспользуемся

основным

тригонометрическим

тождеством

sin2 x + cos2 x = 1 и применим формулы ò

dx

= tg x + C и ò

dx

= -ctg x + C :

2

x

2

x

cos

sin

ò

1× dx

= ò

sin2

x + cos

2 x

dx

=

ò

dx

+ ò

dx

= tg x - ctg x + C .

sin2 x cos2 x

sin

2 x cos2

x

cos2

sin2

x

x

Упражнение. Вычислить ò

2 + 3x2

dx .

x

4

+ x

2

Указание.

Представить

числитель

в

виде:

2 + 3x2 = 2 + 2x2 + x2 = 2(1+ x2 )+ x2 .

14.2. Методы вычисления неопределенного интеграла

ØИнтегрирование заменой переменной или методом подстановки

ØИнтегрирование по частям

ØИнтегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки ТЕОРЕМА 1. Пусть функция ϕ :T → X определена и дифференцируема

на множестве T и X – множество ее значений, на котором определена функция

f (x) ("t ÎT j(t)Î X ). Тогда если F(x) – первообразная для				f (x) на	X , то
F(ϕ(t))			′		выпол-
	– первообразная для f (ϕ(t))ϕ (t) на T , то есть на множестве T
няется равенство
	ò f (x)dx		′		(14.3)
			x=ϕ(t ) = ò f (ϕ(t))ϕ (t)dt
Доказательство. Пусть F(x) – одна из первообразных для				f (x) на X , то
есть
	ò f (x)dx = F(x)+ C .

По правилу дифференцирования сложной функции производная правой

части (14.3) равна Ft′(j(t)) = Fx′(j(t))×j′(t) = f (j(t))j′(t).

8

Это означает, что F(ϕ(t)) – первообразная для f (ϕ(t))ϕ′(t). Следователь-

¢

но, ò f (j(t))j (t)dt = F(j(t)) и равенство (14.3) доказано.

Формула (14.3) называется формулой замены переменной в неопределен-

ном интеграле.

Пример 4. Найти ò

dx

.

x +

x

Чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной

t =

.

Тогда

x = t2 ,

dx = 2tdt и

наш интеграл примет вид

x

ò

dx

= ò

2tdt

= 2ò

dt

t +1= u

= 2ò du

=

t = u -1

= 2ln

u

+ C = 2ln

t + 1

+ C =

2 + t

x

+ x

t

t + 1

dt = du

u

= 2ln(x +1)+ C .

Пример 5. Найти ò

dx

.

x 1 - x2

Воспользуемся «обратной» подстановкой:

1

= t ,

x = 1

, dx = -

1

dt ,

t2

1 - x2 = t2 -1. Получим

x

t

t2

t ×

t

dt

ò

dx

=

t2

=

t

= ò

= -sgn tò

dt

= -sgn xln

1

+

1

-1

+ C .

x

2

x 1 - x2

t2 t2 -1

t2 -1

x

Пример 6. Найти ò

1- x2

dx .

Выполним тригонометрическую

замену:

x = sint ,

0 £ t £ π

. Имеем

2

1- x2 =1- sin2 t = cos2 t , dx = costdt . Следовательно,

cost dt = òcos2 t dt = ò

1+ cos2t

dt =

1

òdt +

1

ò

1- x2

dx = ò

cos2 t

òcos2t dt =

2

2

2

1

1

1

1

=

t +

sin 2t + C =

arcsin x +

× 2x

1 - x2

+ C , x (−1,1).

2

4

2

4

9

Несколько иной подход к рассматриваемому методу замены переменной основан на теореме 2. Этот подход иногда называют «подведением под знак дифференциала».

						ТЕОРЕМА 2. Если ϕ : T → X и
T					X	ϕ−1 : X → T – взаимно обратные диф-
			ϕ			ференцированные функции и если
						′
t					x	ò f (ϕ(t))ϕ (t)dt = H (t)+ C , t T , то
			ϕ −1			ò f (x)dx = H (ϕ−1(x))+ C , x X .
						Иначе:
	′		ϕ(t )= x	= ò f (x)dx.
ò f (ϕ(t))ϕ (t)dt

Доказательство следует из того, что в силу инвариантности формы дифферен- циала равенство dF(x) = F′(x)dx = f (x)dx остается справедливым и в случае,

когда x – промежуточный аргумент, то есть x = ϕ(t).

Заметим, что если ò f (x)dx = F(x)+ C , то

ax + b = t

ò f (ax + b)dx = adx = dt = 1a ò f (t)dt = 1a F(ax + b)+ C . dx = 1a dt

2x+1

=

2x + 1 = t

=

1

t

dt =

1

t

+ C =

1

2x+1

+ C .

Пример 7. òe

dx

2dx = dt

òe

e

e

2

2

2

arctgt

arctg t = x

Пример 8. ò

e dt

=

dt

= dx

= òexdx = ex

+ C = earctgt + C .

1 + t2

1+ t2

10