3.2.3.Расчет показателей надежности функциональных блоков и объекта в целом

На основе структурных и структурно-логических схем надежности составляется набор расчетных формул. Для типовых случаев расчета используют формулы, данные в справочниках по расчетам надежности, стандартах и методических указаниях. Однако прежде чем применять эти формулы, необходимо внимательно изучить их существо, физический смысл и области использования.

3.2.4. Основные сведения из теории вероятностей

Расчеты надежности систем основаны на использовании основных теорем теории вероятностей.

Суммой двух событий А и Вназывается событиеС, состоящее в выполнении событияА или событияВ или обоих вместе. Если событияА иВ несовместны, то появление обоих этих событий вместе исключено, и сумма событийА иВ сводится к появлению событияА или событияВ.Следовательно, суммой событийА иВназывается событиеС, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А иВназывается событиеС, состоящее в совместном выполнении событияА и событияВ.

Вероятность суммы двух несовместныхсобытий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) =Р(А) +Р(В). (3.1)

Из теории вероятностей следует:

• если события А₁,А₂,…,А_nобразуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице;

• сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

В случае, когда события А иВ совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой:

Р(А+В) =Р(А) +Р(В) –Р(АВ). (3.2)

Событие А называетсянезависимым от событияВ, если вероятность событияА не зависит от того, произошло событиеВили нет.

Событие А называетсязависимымот события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событиеВили нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событиеВ, называетсяусловной вероятностьюсобытияАи обозначаетсяР(А|В).

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.е.

Р(АВ) =Р(А) Р(В|А) =Р(В)Р(А|В). (3.3)

Из теоремы умножения вероятностей следует, что если событие Ане зависит от событияВ, то событиеВ не зависит от событияА, т.е. еслиР(А) =Р(А|В), тоР(В) =Р(В|А). Таким образом, зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий: два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

Р(АВ) =Р(А) Р(В). (3.4)

Для nнезависимых событий

Р(С) =Р₁(А₁) Р₂(А₂)….Р_n(A_n), (3.5)

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.