caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii
.pdf∂ T |
= axx |
12T+ |
qV |
, |
(3.56) |
∂τ |
|
||||
|
|
ρ c |
|
где |
2T= |
∂ 2T+ |
k |
∂ |
2T+ |
k |
∂ |
2T |
. |
|
|||||||||
|
1 |
∂ x2 |
|
y ∂ y2 |
|
z∂ z2 |
Таким образом, для анизотропной среды уравнение теплопроводности также приводится к стандартному виду, однако изменяется вид оператора Лапласа, в нем появляются коэффициенты анизотропии ky, kz, корректирующие теплопроводность по направлениям.
Уравнение теплопроводности для высокоскоростных процессов
Полученное ранее выражение закона Фурье q = −λ gradT
предполагает бесконечно большую скорость распространения теплоты в теле, при которой градиент температуры и плотность теплового потока для любого момента времени τ соответствуют друг другу. Это подтверждается для стационарных и медленно протекающих нестационарных процессов.
Для высокоскоростных процессов в условиях резкого изменения теплового потока на поверхности тела перестройка температурного поля и изменение температурного градиента запаздывают вследствие тепловой инерции на время релаксации τr. Скорость распространения теплоты и время релаксации связаны соотношением
ur = |
λ |
|
= |
|
a |
, |
(3.57) |
ρ cτ |
|
|
|||||
|
r |
τ r |
|
||||
из которого следует, что |
время |
релаксации |
увеличивается |
с увеличением тепловой инерции тела и уменьшается с увеличением скорости распространения теплоты ur. Например, для азота τr = 10–9 с, а для алюминия τr = 10–11 с.
С учетом скорости распространения теплоты (3.57) в законе Фурье появляется дополнительный член:
101
q = −λ gradT− τ r |
∂ q |
. |
(3.58) |
|
|||
|
∂τ |
|
Рассмотрим с учетом (3.58) вывод одномерного уравнения теплопроводности, в котором отсутствуют внутренние источники тепла, теплопроводность и время релаксации постоянны. Проекция плотности теплового потока (3.58) на ось x
|
q = −λ |
|
∂ T |
− τ |
|
|
r |
∂ qx |
, |
|
(3.59) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
подставив ее в уравнение теплопроводности |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ρ c |
∂ T |
= − |
|
∂ qx |
|
, |
|
|
|
|
(3.60) |
|||||||||||||
получим |
|
|
|
|
∂ |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂ |
t |
|
|
|
|
|
∂ |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2 qx |
|
|
|||||||
ρ c |
|
|
= λ |
|
|
|
|
|
+ τ |
∂r |
|
|
|
|
|
|
. |
(3.61) |
|||||||||
∂τ |
|
∂ |
|
∂τx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Продифференцируем уравнение (3.60) по τ, получим: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ρ c |
∂ 2T |
= − |
|
|
∂ 2 qx |
. |
|
|
(3.62) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂τ |
2 |
|
|
|
|
|
|
∂τx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим смешанную производную из (3.62) в уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||
(3.61) и поделим на ρс: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ T |
|
|
|
|
∂ |
2T |
|
|
|
|
∂ |
|
2T |
|
|
|||||||||||
|
|
|
+ τ r |
|
|
= |
|
a |
|
|
|
|
|
. |
|
(3.63) |
|||||||||||
|
∂τ |
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
В трехмерном случае при наличии источника тепла уравнение (3.63) принимает вид:
∂ T |
+ τ r ∂ |
2T |
= a 2T+ |
qV |
(3.64) |
∂τ |
2 |
ρ c |
|||
∂τ |
|
Краевые условия
Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности относится к классу гиперболических уравнений, в частном случае при τr = 0 из него получается стандартное уравнение теплопроводности (3.50).
102
Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти единственное решение, характеризующее конкретный процесс, необходимо задать краевые условия.
Краевые условия включают в себя начальное (временное) и граничные (пространственные) условия.
Начальное краевое условие необходимо для нестационарного процесса и характеризует распределение температуры в начальный момент времени:
T ( x, y, z, 0) = f ( x, y, z ) , |
(3.65) |
часто его принимают однородным: |
|
T (τ = 0)= T0 . |
(3.66) |
Граничные краевые условия характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида граничных краевых условий.
При граничных условиях 1-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается распределение температуры:
Tп = f ( xп, yп, zп, τ ) . |
(3.67) |
В частном случае температура всей поверхности может поддерживаться постоянной во времени, такая граница называется изотермической:
Tп = const . |
(3.68) |
На рис. 3.12 показано распределение температуры в процессе остывания тела с изотермической границей ( Tп = const ),
при этом плотность теплового потока переменна ( tg ψ~q).
При граничных условиях 2-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается плотность теплового потока:
qп = f ( xп, yп, zп, τ ) . |
(3.69) |
|
103 |
Рис. 3.12. Расчетная схема к граничным условиям 1-го рода
Рис. 3.13. Расчетная схема к граничным условиям 2-го рода
104
В частном случае плотность теплового потока может поддерживаться постоянной во времени, например при нагревании металла в высокотемпературных печах:
qп = const . |
(3.70) |
На рис. 3.13 показано распределение температуры в процессе остывания тела при постоянной плотности теплового потока (q = const), при этом температура поверхности тела переменна. Частным случаем граничного условия 2-го рода является адиабатная граница ( qп = 0 ), например ось
симметрии тела.
При граничных условиях
3-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается температура окружающей среды и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой:
qп = a (Tп − Tс ) , |
(3.71) |
где α – коэффициент теплоотдачи,
α = |
|
qп |
Вт |
, (3.72) |
||
|
|
|
|
|
||
T |
− T |
м2 К |
||||
|
п |
с |
|
|
|
|
характеризующий плотность теплового потока при единичной разности температур между поверхностью тела и окружающей средой.
С учетом закона Фурье граничное условие 3-го рода имеет
вид
−λ |
∂ T |
= α |
(T− |
T ) , |
(3.73) |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
∂ n |
|
п |
с |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ T |
= |
Tп − Tс |
= |
AB |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
∂ n |
|
−λ |
α |
AC |
|
На рис. 3.14 показано распределение температуры в процессе остывания тела при граничном условии 3-го рода, при этом изменяются как температура поверхности тела (Тп), так и плотность теплового потока (q~tg ψ).
Отметим, что граничные условия 1-го и 2-го рода являются частными случаями граничных условий конвективного теплообмена:
1) |
α = ∞ |
− |
λ ∂ |
T |
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
α ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= (Tп − Tс ) Tп |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
= Tс – |
изо- |
|
|
|
|
|
|
|||||||
термическая граница; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) α = 0 qп = α (Tп− Tс ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
qп = 0 |
– |
адиабатная |
|
|
|
|
|
|
||||||
граница. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.14. Расчетная схема |
|
|||
Граничные условия 4-го |
|
к граничным условиям 3-го рода |
||||||||||||
рода |
описывают |
условия |
|
|
|
|
|
|
||||||
теплообмена на границе контакта двух тел (рис. 3.15): |
|
|||||||||||||
|
|
|
−λ 1 |
∂ T1 |
= −λ |
|
∂ |
T2= |
∆ T |
, |
(3.74) |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ n |
|
∂ |
n |
Rк |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
где Rк [K·м2/Вт] – тепловое сопротивление контакта, зависящее от давления, чистоты поверхностей и других факторов. В частном случае идеального контакта (Rк = 0)
−λ 1 |
∂ T1 |
= −λ |
|
∂ |
T2 |
, |
(3.75) |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
∂ |
|
||||||
|
∂ n |
|
n |
|
т.е. коэффициент теплопроводности и температурный градиент обратно пропорциональны: чем выше коэффициент теплопроводности материала, тем меньше в нем температурный градиент.
Рис. 3.15. Расчетная схема к граничным условиям 4-го рода
Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу теплопроводности, имеющей единственное решение.
3.7. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности
Рассмотрим одномерную нестационарную задачу теплопроводности при граничных условиях 3-го рода, моделирующую температурное поле в плоском слое (рис. 3.16). Для записи краевой задачи теплопроводности
106
|
∂ T |
= a∂ |
|
2T |
, T ( |
τ = 0)= T , |
||||||||
|
|
|
x2 |
|||||||||||
|
∂τ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
0 |
|||
−λ |
∂ T |
|
|
= α |
(T− |
T ), (3.76) |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
п |
|
c |
|
|
||
|
|
|
x=l |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
выберем |
безразмерные пе- |
|||||||||||||
ременные: |
|
температуру |
||||||||||||
θ = T T 0 |
|
и |
координату |
|||||||||||
X = x δ . |
Размерные |
|
пере- |
|||||||||||
менные |
T = θ T0 |
и |
x = X δ |
|||||||||||
подставим |
в дифференци- |
|||||||||||||
альное уравнение: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0∂θ |
= a |
T∂0 θ 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂τ |
|
|
δ ∂2 X 2 |
Рис. 3.16. Температурное поле плоского слоя
|
∂θ |
|
|
∂ θ 2 |
|||
|
|
∂= |
|
. |
|||
aτ |
|
X 2 |
|||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
δ |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Здесь aδ τ2 = Fo – число Фурье, характеризует безразмерное
время процесса теплопроводности, его называют числом гомохронности (однородности по времени). Если для двух систем характерная длительность δ 2 a имеет одно и то же значение,
то гомохронность переходит в синхронность.
Итак, безразмерная форма дифференциального уравнения теплопроводности:
∂θ |
∂ |
θ 2 |
|
||
|
=∂ |
|
|
. |
(3.77) |
∂ Fo |
|
X 2 |
Применим такое же обезразмеривание к граничным условиям 3-го рода:
−λ |
∂ T |
|
|
|
= α (T− T ) −∂ |
T |
|
|
|
=α |
|
∆ T |
||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
∂ x |
|
|
п |
c |
∂ x |
|
|
λ |
|||||
|
|
x=δ |
|
|
|
x=δ |
||||||||
|
|
|
|
|
107
− |
T0 |
∂θ |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
|
|
|
α |
|
|
l |
∆θ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
T0∆θ |
− |
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
δ ∂ |
X |
|
x=δ |
λ |
|
|
|
∂θ |
|
|
|
∂ |
X |
|
x=δ |
λ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= Bi∆θ |
, |
|
|
|
|
(3.78) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
α δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ X |
|
x=δ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где Bi = |
|
– число Био, характеризующее отношение темпе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратурного перепада δТ к температурному напору ∆Т. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−λ |
∂ T |
|
|
= α (T− T ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
п |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− λ |
|
δ T |
|
|
|
x=δ |
|
δ |
T |
|
|
α δ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= α∆ |
T |
−∆ |
|
|
|
= |
|
|
|
= Bi. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
δ |
|
T |
|
|
λ |
|
|
При малых числах Био, когда температурный перепад меньше температурного напора (δТ < ∆Т), в теплообмене большую роль играет условие теплообмена на границе, т.е. внешнее тепловое сопротивление. При больших числах Био, когда температурный перепад больше температурного напора (δТ > ∆Т), в теплообмене большую роль играет теплопроводность, т.е. внутреннее тепловое сопротивление плоского слоя.
3.8.Стационарная теплопроводность плоского слоя
Вчастном случае для плоского слоя толщиной δ, не со-
держащего внутренних источников тепла (qV = 0), на поверхностях которого x = 0 и x = δ заданы граничные условия первого
рода, т.е. поддерживаются температуры соответственно Т1 и Т2. Математическая формулировка стационарной краевой задачи теплопроводности имеет вид:
|
d2T |
= 0 , |
(3.79) |
|
dx2 |
||
|
|
|
|
T ( x = 0) = T1 , |
T ( x = δ )= T2 . |
(3.80) |
108
Общее решение уравнения теплопроводности (3.79) получается после двойного интегрирования:
dT |
= C1 dT = C1dx |
∫dT =∫C1dx T = C1 x + C2 . (3.81) |
|
||
dx |
|
Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся подстановкой граничных условий (3.80) в общее решение (3.81):
|
T1 = C1 0 + C2 |
||
|
T2 = C1 δ + C2 |
||
и имеют вид: |
|
|
|
C1 |
= − |
T1 − T2 |
; C2 = T1 . |
|
|||
|
|
δ |
В результате получается решение задачи:
T = T1 |
− |
T1 − T2 |
x , |
|
δ |
||||
|
|
|
(3.82)
(3.83)
(3.84)
дающее линейное распределение температуры потолщинеслоя. Плотность теплового потока определяется в соответствии
с законом Фурье:
|
dT |
|
T1 − T2 |
T1 − T2 |
|
|
q = −λ |
|
= λ |
δ |
= |
|
(3.85) |
dx |
δ λ |
|||||
и является постоянной, отношения λ δ |
и δ λ |
называются со- |
ответственно тепловой проводимостью и тепловым сопротив-
лением плоского слоя.
Потери тепла через плоскую стенку:
Q = −∫∫λ |
∂ T |
dS dτ = |
T1 − T2 |
S τ |
[Дж] . |
(3.86) |
|
|
|||||
S τ |
∂ n |
δ λ |
|
|
||
Пример 1. Определить потери тепла через кирпичную |
||||||
стенку ( лк = 0,3 Вт / (м К) ) площадью 3×5 |
м за сутки. Как из- |
менится теплопроводность, если кирпичную стенку заменить
109
деревянной (сосна поперек волокон, лд = 0,107 Вт / (м К) ).
Толщины стенок составляют δк = δд = 25 см, температуры наружной и внутренней поверхностей стенки соответственно t1 = 20 oC, t2 = –20 oC. Определить стоимость потерь при цене 1 кВт·ч энергии 1 руб.
Решение. По формуле (3.86) определяем потери тепла через кирпичную стенку:
Q |
= |
|
T1 − T2 |
S τ = |
|
20 − (−20) |
|
3 5 24 3600= 62500 кДж, |
|
|
|
|
|||||||
к |
|
|
δ к λ к |
|
0, 25 0,3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
потери тепла через деревянную стенку: |
|||||||||
Q = |
T1 − T2 |
|
S τ = |
|
20 − (−20) |
3 5 24 3600= 22200 кДж. |
|||
|
|
|
|||||||
д |
|
δ д λ д |
|
0, 25 0,107 |
|
||||
|
|
|
|
Один кВт·ч тепловой энергии составляет 1·3600 = 3600 Дж, следовательно, стоимость потерь через кирпичную стенку составляет 62500/3600 = 17,4 руб., а через деревянную стенку – 22200 / 3600 = 6,2 руб., чтопочтив 3 разаменьше.
3.9.Метод регулярного теплового режима расчета нагрева (охлаждения) тел
Нестационарными называются такие процессы, при которых температурное поле изменяется не только в пространстве, но и во времени.
Среди практических задач нестационарной теплопроводности важнейшее значение имеют две группы процессов:
•температура тела претерпевает периодические изменения (температурное поле Земли, насадка регенераторов доменной печи и др.);
•температура изменяется монотонно (задачи нагрева охлаждения тел).
Аналитическое решение задач нестационарной теплопроводности часто бывает затруднительным, поэтому в практике расчета времени нагрева (охлаждения) тел применяют при-
110