caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

Функция распределения имеет вид (рис. 2.14):

Рис. 2.14. График функции F(x) равномерного распределения

0,			при x < a,
		− a
x
F (x) =			, при a ≤ x≤ b,	(2.37)
b		− a
1,			при x > b.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

+∞

b

1

1 x

2

b

+ b

M x = ∫ x f (x)dx =∫ x

dx =

=

a

,

b

−∞

a

b − a

− a 2

a

2

+∞

Дx = ∫ (x − M x )2 f (x)dx =M x ( X 2 ) − M x2 =

−∞

(a + b)

+∞

a + b

2

b

1

2

2

2

= ∫ x

f

(x)dx −

= ∫ x

dx −

=

2

4

−∞

a

b − a

1 x3

b

a + b 2

(b − a)2

=

−

=

.

2

12

b − a 3

a

Определяем стандартное отклонение и разброс:

σ =

b − a

;

ω =

b−

a= 2σ 3 .

(2.38)

2

3

61

Равномерное распределение наиболее характерно для неисключенных систематических погрешностей (погрешность от трения в опорах электромеханических приборов, погрешность дискретности в цифровых приборах и др.). Если отсутствуют данные о виде распределения систематической погрешности, то они принимаются равномерными, так как оцениваются границами (пределами) допускаемых погрешностей.

2.5.Начальные и центральные моменты

Вобщем случае момент дискретной случайной величины r-го порядка можно представить в виде:

n
Mr = ∑( xi − a)r pi ,	(2.39)

i=1

где а – постоянная величина.

Если а = 0, то момент называют начальным, если а = Мх или а = x r – центральным. Нечетные центральные моменты указывают на симметрию распределения относительно математического ожидания. У всех симметричных распределений нечетные моменты относительно среднего значения равны нулю.

Первый начальный момент – математическое ожидание:

	n
M1 = M x = ∑ pi xi .		(2.40)
i=1
Второй центральный момент –	стандартное отклонение σ:
n	− M x )2 .
M2 = ∑ pi ( xi		(2.41)

i =1

Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент (М3) характеризует асим-

метрию распределения случайных погрешностей, т.е. скошен-

ность (рис. 2.15). Коэффициент асимметрии:

62

					n
					∑ pi (xi	−		)3
			M3				x
S	k	=		=	i =1				.	(2.42)
			у3		у3

Рис. 2.15. Асимметричные распределения случайных погрешностей

Четвертый центральный момент (М4) характеризует форму (крутизну кривой), плосковершинность или островершинность распределения случайных погрешностей (рис. 2.16) и описывается с помощью эксцесса:

					n
					∑ pi ( xi	−		)4
			M4				x
E	k	=		− 3 =	i =1				− 3.	(2.43)
			у4		σ 4

Число 3 вычитают потому, что для нормального распределения погрешностей M4 = 3, следовательно, Ek = 0, т.е. в качестве кривой с нулевым эксцессом принята кривая нормального распределения.

Выражение 1 / Ek называется контрэксцессом. Если Ek > 0,

то говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения. Если Ek < 0 – имеется отрицательный эксцесс и вершина кривой находитсяниже вершины кривойнормального распределения.

63

Рис. 2.16. Плосковершинность и островершинность распределения случайных погрешностей

В случаях когда значения случайной величины xi заданы трех- и более значимыми числами и объем выборки N > 25, расчет параметров целесообразно вести путем введения случайной величины

xi′ = xi − x0 , h

где xi′ – новая случайная величина; h – величина интервала; х0 –

некоторое начальное значение (обычно принимают середину средних значений xi).

2.6. Квантили распределения

Пусть Х – непрерывный количественный случайный признак с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(х).

Квантилью порядка Р или Р-квантилью распределения F(x) называется величина xP, являющаяся решением уравнения

F(xР) = P, 0 ≤ P ≤ 1.

(2.44)

64

Поскольку для непрерывного признака ее функция распределения F(x) непрерывная и монотонно возрастающая, решение уравнения (2.44) – единственно (рис. 2.17).

Квантиль порядка Р = 0,5

называется медианой распре-

деления (рис. 2.18). Ордината медианы рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс пополам. Для непрерывного признака ее функция распределения имеет вид:

x

F (x) = ∫ f (x) dx,

– ∞

где f (х) – плотность распределения.

Квантиль xР удовлетворяет соотношению

xР

∫ f (x) dx = Р.

– ∞

На рис. 2.19 площадь под заштрихованной фигурой равна Р, а оставшаяся площадь под фигурой равна 1− Р.

Рис. 2.17. К определению квантиля

Рис. 2.18. Медиана распределения

Рис. 2.19. К определению площади f(x)

2.7. Интервальные оценки истинного значения

		Рассмотренные ранее оценки	результата измерения
(		, σ ) , выраженного одним числом,	называются точечными
	x

оценками. Более полным и надежным способом оценки слу-

65

чайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы интервала [x1, x2], называется доверительной вероят-

ностью α , а сам интервал – доверительным:

α = р(хн ≤ х ≤ хв) = 1– β,

(2.45)

где хmin = х – х1, хmax = х + х2 – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х; β – уровень значимости (β = р(хн > х > хв) =

= 1– α ).

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерений, причем при большом доверительном интервале наблюдается большая доверительная вероятность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.

Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,10; 0,05; 0,01. В технических измерениях ограничиваются доверительной вероятностью α = 0,95.

При нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3σ до –3 σ , для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна по абсолютному значению будет больше 3σ .

Различного рода ошибки, влияющие на правильность принятия решения о техническом состоянии объекта, неизбежно возникают в процессе диагностирования. Основные причины ошибок диагностирования:

• неточное измерение и преобразование контролируемого параметра;

• неточное сравнение измеренного значения параметра с нижним и верхним допустимыми пределами;

66

• ненадежное функционирование средств контроля в процессе диагностирования.

При диагностировании могут возникнуть различные ошибки. Будем считать состояние S1 исправным, а состояние S2 неисправным. Если при исправном состоянии объект диагностируется как неисправный, то это называется ошибкой первого рода (ложным отказом). Если неисправный объект при диагностике признан исправным, то это ошибка второго рода (пропуск дефекта).

Вдальнейшем будем обозначать вероятность ошибки первого рода буквой γ 1, авероятность ошибки второго рода – γ 2.

Ошибка, относящаяся к диагнозу S1 (принимается решение о наличии диагноза S2, когда в действительности объект принадлежит диагнозу S1), называется ошибкой первого рода. Ошибка, относящаяся к диагнозу S2 (принимается решение в пользу диагноза S1, когда справедлив диагноз S2), называется

ошибкой второго рода.

Поясним смысл вышеуказанных ошибок на конкретном примере. Пусть производится диагностирование объекта по одному параметру x. Задача состоит в выборе значения x0 параметра x таким образом, что при x > x0 следует принимать решение о снятии объекта с эксплуатации, а при x < x0 – допустить дальнейшую эксплуатацию.

С учетом ошибок диагностирования распределение значений параметра x для исправных и неисправных объектов показано на рис. 2.20. Из рисунка видно, что области исправного S1 и неисправного S2 состояний пересекаются, потому принципиально невозможно выбрать значение x0, при котором в результате технического диагностирования было бы принято безошибочное решение. Заштрихованные на рис. 2.20 площади под кривыми f (x|S1) и f (x|S2) характеризуют вероятности ошибочных решений при диагностировании объекта.

Вероятность исправного состояния (ошибка первогорода γ1):

p (x > x0		S1 ) = ∞∫ f (x		S1 ) dx = γ 1 ,	(2.46)

x0

67

Рис. 2.20. Распределение плотности вероятности значений параметра x для исправного S1 и неисправного S2 состояний объекта

Вероятность неисправного состояния (ошибка второго рода γ2):

x
p (x < x0 S2 ) = ∫0	f	(x S2 ) dx = γ 2 .	(2.47)

−∞

Значения ошибок характеризуют качество процесса диагностирования в целом, а это значит, что они должны учитываться при задании и определении показателей диагностирования. Это можно сделать следующим образом. Например, при измерении параметров во время диагностирования кривая рассеяния может занимать внутри поля допуска различные положения (рис. 2.21), и в этом случае нельзя определить, какому участку поля рассеяния они соответствуют. Так, например, точки А и В могут принадлежать кривым 1 и 2, расположение которых могут подтверждать годность объекта, но могут относиться к кривым 1а и 2а (ошибки второго рода), в значительной части выходящими за пределы допуска, показывая тем самым брак контролируемого объекта (заштрихованные участки).

Для исключения опасности появления ошибок второго рода при контроле в случае, когда поле допуска превышает поле рассеяния, т.е. ω < δ , необходимо с помощью настройки обеспечить расположение кривой фактического распределения раз-

68

меров внутри поля допуска с таким расчетом, чтобы ее центр группирования (математическое ожидание Мx) отстоял от предельных размеров не менее, чем на 3σ .

Рис. 2.21. Возможные положения кривых распределения размеров относительно поля допуска при 6σ ≤ δ

Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. вероятность того, что х выйдет за пределы [ x1 , x2 ]. Выби-

раемое значение β должно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была забракована правильная оценка. С другой стороны, слишком малое значение β может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 ≤ β ≤ 0,1.

2.8. Представление параметров распределения

Множество однотипных объектов из генеральной совокупности значений случайной величины X (x1, x2, …, xn) на практике характеризуется и представляется:

•эмпирической функцией распределения;

•полигоном частот;

•гистограммой частот.

69

Эмпирической функцией распределения (функцией распре-

деления выборки) называют функцию FX(x), определяющую частоту того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е.

FX (x) = W (X < x).

(2.48)

Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки неубывающая и служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Полигоном частот называю ломаную, отрезки которой со-

единяют точки (x1; n1), (x2; n2),…, ( xk; nk), где ni, i = 1,…, k – час-

тоты (число наблюдений), при которых отмечалось значение признака, равное xi. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. При этом сумма всех частот равна объему выборки.

Пример 1. Построить полигон частот (рис. 2.22) для следующего распределения:

xi	1	4	5	7
ni	20	10	14	6

Рис. 2.22. Полигон частот

Для построения гистограммы интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения непрерывного признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариантов, попавших в i-й интервал.

70