caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

ближенный инженерный метод, в соответствии с которым пренебрегают внутренним тепловым сопротивлением тела по сравнению с внешним.

Из формулы теплового сопротивления плоского слоя δ/λ видно, что оно стремится к нулю в двух случаях:

1.δ → 0 – тела имеют малый размер поодной из координат;

2.λ → ∞ – тела являются хорошими проводниками тепла. Таким образом, метод эффективен при расчетах нагрева

охлаждения металлических листовых материалов. На практике метод используется уже при Bi < 0,1.

В математической формулировке краевой задачи для плоской стенки с адиабатной левой и охлаждаемой правой поверхностями:

∂θ

=∂

θ 2

θ (τ = 0)= θ

0

,

∂θ

= 0 −

∂θ

= Biθ ,

∂ X

∂ X

∂ Fo ∂ X 2

X =0

X =δ

где θ – безразмерная температура, определяемая по формуле:

θ = T − TC .

T0 − TC

Градиенты температуры отсутствуют, и уменьшение внутренней энергии происходит за счет рассеяния тепла через ее поверхность:

			−	dθ		= Biθ .	(3.87)
				dFo
	Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение
	решим методом разделения переменных:
	∫	dθ	= −Bi∫dFo		ln θ = − Bi Fo+ C.		(3.88)
		θ

Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся начальным краевым условием θ (Fo= 0)= θ 0 .

111

Постоянная интегрирования C находится подстановкой начального условия θ = θ 0 при Fo = 0 в уравнение

C = ln θ 0 .

Таким образом, безразмерное отклонение температуры описывается уравнением:

ln θ = − Bi Fo+ lnθ 0 .

Сгруппировав подобные и пропотенцировав последнее уравнение, получим более удобный вид этого уравнения:

θ = θ 0e−Bi Fo ,

(3.89)

т.е. в соответствии с методом регулярного теплового режима безразмерная температура θ убывает по экспоненциальному закону.

На практике метод регулярного теплового режима применяется и для расчета массивных тел сложной формы, для этого число Био, характеризующее темп охлаждения (нагревания) тела, определяют экспериментально (рис. 3.17) на участке линейной зависимости:

Рис. 3.17. Зависимость логарифма температуры от числа Фурье

112

ln θ 1= − Bi Fo1+ C, ln θ 2 = − Bi Fo2+ C.

Исключая постоянную С из системы уравнений, получаем:

		ln		θ 1
	Bi =			θ 2		.
		Fo2	− Fo1

Пример 2. Определить промежуток времени, по истечении которого лист стали, прогретый до температуры Т0 = 500 oC, будучи помещен в воздушную среду, температура которой Тс = 20 oC, примет температуру, отличающуюся не более, чем на 1 % от температуры окружающей среды.

Толщина листа 2δ = 20 см, теплофизические свойства стали: коэффициент теплопроводности λ = 45,5 Вт/(м К); теплоемкость с = 0,46 кДж/(кг·К); плотность ρ = 7900 кг/м3. Коэффициент теплоотдачи от поверхности листа к окружающему воздуху α = 35 Вт/(м2 К).

Решение. Вычислим число Био:

Bi =	αδ	=	35 0,01	= 0,0077 0,1 .
	λ
		45,5

Так как Bi 0,1, температуру по сечению листа можно считать одинаковой во всех точках и воспользоваться формулой (3.89) метода регулярного теплового режима:

θ = e−Bi Fo = e−0,0077 Fo

θ =

T − Tc

=

0,01 Tc

=

0,01 500

= 4, 2 10−4 ;

T0 − Tc

T0 − Tc

500 − 20

Fo = −

ln θ

= −

ln(4, 2 10−4 )

= 1010 ; Fo =

aτ

=

λτ

ρ cδ 2

0,0077

0,0077

δ 2

Fo ρ cδ

2

3

2

τ =

=

1010,4 7900 0,46 10

0,01

=

λ

45,5

= 8067 с ≈

2 ч15 мин.

113

3.10. Теплопроводность при плавлении-затвердевании металла

Процесс переноса теплоты может сопровождаться изменением агрегатного состояния вещества. В процессе перехода вещества из одного агрегатного состояния в другое выделяется либо поглощается большое количество теплоты. Процесс фазового перехода может локализоваться в объеме малой толщины,

называемом фронтом фазового перехода.

		В соответствии с балансом под-
	вода и отвода теплоты фронт фазово-
	го перехода будет перемещаться с
	определенной скоростью. К фрон-
	тальным процессам относится и про-
	цесс плавления-затвердевания метал-
	ла. На рис. 3.18 показано темпера-
	турное поле в отливке с плоским
	фронтом фазового перехода. При от-
	воде тепла		с поверхности отливки
	(x = 0) образуется корка твердой фазы
	(1) толщиной ε, которая растет по ме-
	ре отвода тепла со скоростью ∂ε ∂τ .
Рис. 3.18. Температурное поле	Температурное поле в твердой фазе
при фазовом переходе	подчиняется		уравнению теплопро-
	водности:
	∂ T1	= a1 2T1 ,	(3.90)
	∂τ

где а1 – коэффициент температуропроводности твердой фазы металла.

В жидкой фазе 2 температурное поле описывается системой дифференциальных уравнений переноса энергии:

	∂ T2	= a2 2T2 ,	(3.91)
	∂τ

114

движения вязкого расплава

dW

= g −

1

p+

v

2W

(3.92)

dτ

ρ 2

и неразрывности

∂ ρ 2

+ div (ρ 2W ) = 0,

(3.93)

∂τ

где W (u, v, w) – вектор скорости;

p –

градиент давления; а2,

ρ2 – коэффициент температуропроводности плотность жидкой фазы металла.

На границе фазового перехода (на рис. 3.18 это граница x = ε) плотности тепловых потоков в твердой и жидкой фазах равны исвязаны со скоростью продвижения границысоотношением:

q = −λ		∂ T1	= −λ	∂	T2= ρ	L	∂ε	,	Вт	,	(3.94)
				2 ∂					м2
ф	1 ∂ n				n	∂τ

где L – удельная теплота фазового перехода, Дж/кг; плотность ρ относится к исходной фазе: при затвердевании металла это плотность жидкой фазы, при плавлении – к твёрдой.

Таким образом, постановка задачи включает уравнение теплопроводности для твердой фазы (3.90), систему уравнений тепломассопереноса (3.91–3.93) в жидкой фазе и баланс тепловых потоков на границе раздела фаз (3.94). Задача замыкается другими рассмотренными ранее краевыми условиями, включающими начальное распределение температуры и поля скоростей жидкой фазы, условия теплообмена на поверхности слитка (x = 0) и на оси симметрии (x = δ), условия «прилипания расплава» на границе фазового перехода.

Рассмотрим задачу затвердевания плоского слоя из неперегретого неподвижного расплава, имеющего постоянную температуру Тзат (рис. 3.19). Поскольку на левой поверхности слоя поддерживается постоянная температура Тп < Тзат, происходит затвердевание расплава, т.е. формируется во времени корочка

115

твердой фазы толщиной ε. При этом на подвижной границе затвердевания x = ε выделяется удельная теплота фазового перехода L [Дж/кг].

Рис. 3.19. Схема затвердевания плоского слоя

Математическая формулировка задачи включает дифференциальное уравнение теплопроводности:

	∂ T	∂		2T
		= a∂			, 0 < x < ε ,	(3.95)
	∂τ			x2
начальное условие
	Т(x, 0) = Тзат; ε(0) = 0,					(3.96)

граничные условия

Т(ε, τ) = Тпл; Т(0, τ) = Тп, (3.97)

а также условие выделения тепла на границе фазового перехода

λ	∂ T	= ρ	L	dε	.	(3.98)
	∂ x			dτ

Принимая линейный закон распределения температуры по толщине твердой фазы в любой момент времени, из условия (3.98) получаем:

λ	Tпл − Tп	= ρ L	dε	.
	ε
			dτ

После разделения переменных и интегрирования получаем решение задачи:

	τ	λ (Tпл−	Tп )	ε	2λ	(Tпл− Tп )τ . (3.99)
	∫			dτ = ∫ε dε ε =
		ρ L
	0		0		ρ L

Решение (3.99) отражает «закон квадратного корня» роста корки твердой фазы при затвердевании слитка (рис. 3.20), в соответствии с которым скорость роста твердой фазы умень-

116

шается с течением времени. Это объясняется возрастающим тепловым сопротивлением растущей корки, через которую отводится теплота фазового перехода.

Пример	3.	Непрерывный
плоский стальной слиток (сляб)
толщиной 2δ = 20 см вытяги-
вается со скоростью 0,6 м/мин
из неподвижного		кристаллиза-
тора (рис. 3.21). Температура
поверхности	сляба поддержи-		Рис. 3.20. Зависимость
вается постоянной, Тп = 900 оС.			толщины корки от времени
Свойства стали: L = 275 кДж/кг;

ρ = 7800 кг/м3; λ = 45 Вт/(м·К); Tпл = 1500 оС. Определить про-

тяженность двухфазной зоны l по длине слитка.

Рис. 3.21. Схема непрерывного слитка

Решение. Из уравнения (3.99) определим время окончания затвердевания, за которое толщина корки достигнет половины толщины сляба (ε = δ):

	2	L				2	7800 275 10	3
τ =	ε ρ				=	0,1			= 397	с= 6,6 мин.
	2λ (T	−	T	)		2 45(1500− 900)
	пл		п
Протяженность двухфазной зоны l = u τ = 0,6										6,6= 4,0 м.

3.11.Метод сквозного счета

взадачах теплопроводности

при структурных и фазовых переходах

Математическую формулировку задачи рассмотрим на примере затвердевания слитка. При отводе теплового потока с поверхности слитка происходит его затвердевание (рис. 3.22),

117

Рис. 3.22. Схема формирования слитка. 1 – твердая фаза; 2 – двухфазная зона; 3 – жидкая фаза

при этом одновременно существуют твердая фаза, двухфазная зона, включающая растущие кристаллы, и жидкая фаза (ядро) слитка.

Температура, при которой происходит переход из твердого состояния в твердожидкое (двухфазное), назы-

вается температурой соли-

дуса (Тсол), переход из двухфазного состояния в жидкое происходит при температу-

ре ликвидуса (Тлик). В интер-

вале температур двухфазной

зоны (Тсол< Т < Тлик) происходит выделение удельной

теплоты фазового перехода L, [Дж/(кг·К)]. При охлаждении поверхности слитка

двухфазная зона продвигается, при этом область выделения удельной теплоты фазового перехода заранее неизвестна. Такая задача с подвижной границей фазового перехода называет-

ся задачей Стефана.

В основе с метода сквозного счета лежит решение уравнения теплопроводности для всей расчетной области слитка, в пределах двухфазной зоны в уравнении учитывается источник теплоты фазового перехода. Это достигается введением функции относительного содержания твердой фазы в элементе объема (ψ), изменяющейся только в пределах двухфазной зоны, при этом уравнение теплопроводности имеет вид:

ρ с	∂ T	= λ 2+Tρ	L∂	ш	.	(3.100)
	∂τ		∂τ

Функция относительного содержания твердой фазы ψ зави-

сит только от температуры, ψ = 1 при Т < Тсол, ψ = 0 при Т > Тлик иизменяется 0 < ψ < 1 при Тсол< Т < Тлик, поэтому сделаем замену

118

∂ ш= dш∂ T , ∂τ dT∂τ

после которой в уравнении теплопроводности

ρ с	∂ T	= λ	2		dш∂ T
			+Tρ	L
	∂τ				dT	∂τ

объединяем левую часть и источник тепла

ρ	∂ T	c − L	dш		= λ 2T .
	∂τ
			dT

Выражение в скобках является эффективной теплоемкостью

c = c − L

dш

.

(3.101)

эф

dT

С введением эффективной теплоемкости уравнение теплопроводности принимает стандартный вид без источника тепла

∂ T

= a 2T ,

(3.102)

∂τ эф

где aэф = λ (ρ cэф ) – коэффициент эффективной температуро-

проводности.

В квазиравновесной модели кристаллизации принят линейный закон выделения твердой фазы в двухфазной зоне (рис. 3.23), поэтому функция ψи ее производная принимают вид:

							при	T > Tлик ,
		0
				T	− T
ш=				лик			при	Tсол ≤	T≤	Tлик ,
		Tлик − Tсол
							при	T < Tсол;
		1
dш		0					при	T > Tлик ,T < Tсол,
		= −			1		при	T	≤ T≤	T .
dT
				Tлик − Tсол				сол		лик

119

Рис. 3.23. График функции относительного содержания твердой фазы

Эффективная теплоемкость (3.101) в этих условиях скачком возрастает в интервале температур двухфазной зоны(рис. 3.24):

с(T )		при T > Tлик ,T < Tсол,
cэф = с(T ) +	L		при T	≤ T≤ T .
			сол	лик
	Tлик − Tсол

Рис. 3.24. График функции эффективной теплоемкости

Таким образом, выделение скрытой теплоты затвердевания учитывается за счет эквивалентного повышения теплоемкости в двухфазной зоне. При такой постановке задачи границами двухфазной зоны являются изотермы ликвидуса и солидуса.

120