caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

В вертикальных щелях структура течения зависит от толщины щели δ (рис. 4.7). Если толщина щели достаточно велика, то на ее поверхностях образуются восходящий и нисходящий потоки, которые движутся без взаимных помех. Формирование погранслоев при этом происходит так же, как и в неограниченных объемах. В узких щелях погранслои из-за взаимных помех взаимодействуют, образуя несколько циркуляциион– ных контуров (вихрей) по высоте щели. Размеры этих вихрей зависят от толщины щели и температурного перепада ∆ Т= Т1 − Т2.

Рис. 4.7. Схема теплоотдачи в вертикальной щели (Т1 > Т2 , δ 1 > δ 2)

В расчетной практике сложный процесс переноса теплоты через щель принято заменять эквивалентным процессом теплопроводности с плотностью теплового потока:

q =	λ экв	(T1 − T2 ) ,	(4.29)
	δ

где лэкв = екл– эквивалентный коэффициент теплопроводности, учитывающий перенос теплоты как теплопроводностью, так и конвекцией; λ − коэффициент теплопроводности теплоносителя; ек − коэффициент конвекции, зависящий от интенсивно-

сти движения теплоносителя, определяемой критерием Рэлея.

При Ra > 103

161

ек = 0,18 Ra0,25 .

(4.30)

При Ra < 103 эквивалентный коэффициент теплопроводности практически равен коэффициент теплопроводности материала в щели λ экв ≈ λ . В этом уравнении принята в качестве определяющего размера ширина щели δ, определяющая температура − Tср = (T1 + T2 )2 .

Пример 3. Определить эквивалентный коэффициент теплопроводности и плотность теплового потока через вертикальную щель δ = 20 мм, заполненную воздухом. Температура горячей поверхности Т1 = 200 oC, холодной – Т2 = 80 oC.

Решение. При определяющей температуре

Tср = (T1 + T2 )2 = (200 + 80)2 =140 o C,

свойства воздуха: кинематическая вязкость ν = 27,8·10–6 м2/c; теплопроводность λ = 0,0349 Вт/(м·К); число Прандтля Pr = = 0,684; коэффициент объемного расширения β = 1/(Тср + + 273) = 1/413 К–1 . Вычислим коэффициент температуропроводности воздуха:

а = ν/Pr = 27,8·10–6 /0,684=40,6·10–6 м2/c.

Вычислим по формуле (4.30) коэффициент конвекции:

		g β δ		3 (T−			T	) 0,25
ек = 0,18 Ra0,25 = 0,18					1		2
				ν a
		9,81 0,023 120				0,25
= 0,18								= 2,14.
		27,8 10−6 40,6 10−6
413

Эквивалентная теплопроводность лэкв = екл = 2,14 0,0349 = 0,0747 Вт(м К) .

Плотность теплового потока через воздушную прослойку по формуле (4.29):

q =	λ экв	(T − T	) =	0,0747	120 = 448	Вт	.
	δ
		1 2	0,02			м2

162

4.6.Вопросы для самоконтроля

1.Какие процессы называются подобными, чем они отличаются от аналогичных процессов?

2.Каково содержание трех теорем подобия?

3.Какой физический смысл имеет критерий Нуссельта, чем он отличается от критерия Био?

4.Получите критерий Пекле, каков его физический

смысл?

5.Виды и структура движения теплоносителя, критерий Рейнольдса, его физический смысл.

6.Каков смысл критериев Фруда, Эйлера, Архимеда?

7.Физический смысл критерия Грасгофа, как по этому критерию определяют режим свободной конвекции теплоносителя?

8.Число Прандтля, его физический смысл, диапазон изменения для различных теплоносителей.

9.Почему краевые задачи конвективного теплообмена формулируют в безразмерном виде?

10.Как определяются средние температура и скорость теплоносителя?

11.До какого числа Рейнольдса поток теплоносителя не может переходить из ламинарного в турбулентный режим?

12.Каковы закономерности теплоотдачи при свободном движении теплоносителя в неограниченном объеме?

13.Каковы закономерности теплоотдачи при свободном движении теплоносителя в ограниченном объеме? Вычисление коэффициента конвекции.

163

5.Вычислительный эксперимент

взадачах тепломассопереноса

5.1. Основы метода сеток

Решение краевых задач теплофизики в каждом конкретном случае – достаточно сложный процесс. Аналитическое решение даже одномерного уравнения теплопроводности, являющегося дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа, трудноосуществимо, если иметь в виду зависимость теплофизических свойств от температуры, нелинейность граничных условий, т.е. зависимость их от температурного поля. Можно сказать, что аналитические методы оказываются практически непригодными для нахождения двух- и трехмерных температурных полей в областях сложной конфигурации. От этих недостатков свободны численные методы, в которых дифференциальные операторы заменяются алгебраическими, получающиеся матричные уравнения решаются на компьютерах с нахождением температурного поля в узловых точках конечно-разностной сетки.

Основная идея численных методов состоит в замене непрерывных функций и их производных по времени и координатам, а также в краевые условия их приближенными значениями в отдельных точках (узлах) сетки. В результате такой замены дифференциальная краевая задача сводится к системе алгебраических (матричных) уравнений относительно искомых параметров в узлах и ячейках сетки.

В общем случае расположение узлов сетки в исследуемой области может быть произвольным. Оно определяется особенностями решаемой задачи. На практике часто применяют сетку, равномерно покрывающую расчетную область. Такая сетка с заранее определёнными расстояниями между ближайшими узлами (шагами сетки) называется регулярной. Фрагмент такой сетки применительно к одномерной нестационарной задаче показан на рис. 5.1.

164

Рис. 5.1. Фрагмент сетки

Узлы этой сетки определяются координатами:

	xi = i hx; i = 0, 1, 2, ..., N;	hx =	H x	(5.1)
			N
	τ k = khτ ; k = 0, 1, 2,	... ,

где N – число разбиений по толщине слоя Hx; hx, hτ – соответственно шаги пространственной (по x) и временной (по τ ) сеток; i, k – номера узловых точек в направлении координат x, τ .

Получим приближенные (аппроксимированные) формулы для первой и второй производных переносимой величины Т(τ , x), входящей в уравнение переноса. Для этого рассмотрим её разложение в ряд Тейлора в направлении координаты x в окрестности точки x0:

	T (τ , x)= T (τ , x	)+	∂ T (τ , x0 )	x − x0+ ∂	2Tτ( , x0 ) (−x		x0 )2+ ... (5.2)
			∂ x		∂ x2
	0			1!			2!

Ряд быстро убывает, и для нахождения приближенного значения первой производной можно ограничиться двумя членами разложения. Третий член разложения (5.2), являясь максимальным из отброшенных, характеризует в этом случае ошибку аппроксимации или ограничения. С точностью до ошибки аппроксимации можно записать первую производную в конечных разностях:

165

∂ T (τ , x)	≈	T τ( , x−)	Tτ( , x0 )	.	(5.3)
∂ x		x−	x0

Выбирая узловые точки справа и слева от рассматриваемой точки x0 на расстоянии шага hx (x = x0 + hx, x = x0 – h x), можно получить из (5.3) формулы право- и левосторонней разностей:

	∂ T (τ , x0 )			≈		T τ( , x+0	hx −) Tτ(	, x0 )		,	(5.4)
	∂ x						hx
				п
	∂ T (τ , x0 )			≈	T τ( , x0 −) Tτ( , x−0			hx )	.
	∂ x			л			hx

Для нахождения ошибки аппроксимации полученных выражений воспользуемся рядом Тейлора (5.2), учитывая в нем три члена разложения. Подставим в этот ряд значения x = x0 и x = x0 + hx и вычтем из второго уравнения первое, в результате получим:

∂ T (τ , x0 )

=

T τ(

, x+0 hx −) Tτ( , x0 )

+ O (hx ) ,

(5.5)

∂ x

п

hx

где

O (hx ) =

∂ 2T (τ , x ) h

– остаточный член ряда

Тейлора,

∂ x2

0

2

x

имеющий порядок шага сетки hx. В этом случае, имея в виду первую степень шага сетки в остаточном члене разложения, говорят, что формула (5.5) аппроксимации первой производной имеет первый порядок точности.

Используя нумерацию узловых точек, можно записать полученные формулы односторонних разностей для i-й узловой точки на k-м слое по времени:

∂ T

≈

Ti +1,k − Ti,k

,

∂ T

≈

Ti,k

− Ti−1,k

.

(5.6)

∂ x

п

hx

∂

x

л

hx

Среднее арифметическое значение право- и левосторонних разностей дает формулу центральной разности:

166

∂ T				≈	Ti+1,k	− Ti −1,k	.	(5.7)
∂ x			ц		2hx

Вторая производная может быть найдена формально как производная от производной с применением формул (5.6):

∂ 2T

∂

∂

T

∂

∂ T

∂−

∂

T

Ti+1,k − 2Ti,k

+ Ti −1,k

x

x

=

=

п

л

≈

. (5.8)

∂ x

2

∂

hx

2

i,k

x ∂

x i ,k

hx

Последнее выражение может быть получено из ряда Тейлора с учетом пяти членов разложения. Действительно, подставляя в этот укороченный ряд значения x = x0 + hx, x = x0 – h x и складывая полученные выражения, получим:

∂ 2T (τ

, x)

=

T τ(

, x+

h

−)

2Tτ(

, x +)

Tτ (

, x−

h

)

+ O (h2 ) , (5.9)

0

x

0

0

x

hx2

∂ x2

x

где O (h2 ) = −

∂ 4T (τ , x0 )

hx2

.

x

∂ x4

12

Вторая производная определена с точностью до квадрата шага сетки, т.е. имеет второй порядок точности. С таким же вторым порядком точности может быть получена формула первой производной. Для этого в разложении (5.2), записанном через узловые точки k-го слоя, учтем еще один член ряда

∂ T

hx

2

T

2

3

3

∂

hx

∂

T

hx

Ti +1,k = Ti,k +

+

+

+ ... . (5.10)

1!

x

2

2!

x

3

3!

∂ x i,k

∂

i,k

∂

i,k

Отсюда

∂ T

T

− T

2

hx

3

2

≈

i +1,k

i,k

−

∂

T

−

∂

T

hx

,

hx

x

2

2

x

3

6

∂ x i,k

∂

i,k

∂

i,k

с учетом приближенного значения второй производной (5.8) получаем:

167

	∂ T		≈	Ti+1,k − Ti−1,k	− O (h2	) ,	(5.11)
					x
	∂ x i ,k			2hx

где O (h2 ) =		∂ 3T			hx2	. Таким образом, формула центральной
			3
x		∂ x			6
				i,k

разности имеет второй порядок точности, т.е. она на порядок точней формул односторонних разностей (5.6).

5.2. Схемы аппроксимации уравнения теплопроводности

От отдельных производных перейдем к дискретному представлению всего уравнения теплопроводности:

∂ T	∂		2T
	= a∂			.	(5.12)
∂τ			x2

Существующие схемы аппроксимации делятся на явные, когда все производные по координате в уравнении переноса записываются на «старом» (k– 1)-м временном слое с известным распределением переносимого параметра Т, и неявные, когда все производные по координате в этом уравнении записываются на «новом» k-м временном слое сизвестным распределением Т.

Используя формулу односторонней разности для производной по времени, а также формулу центральной разности для конвективного члена, запишем примеры схем аппроксимации – явной:

		Ti,k +1 − Ti,k		= a		Ti +1,k − 2Ti ,k + Ti −1,k			(5.13)
						h2
		h
		τ				x
и неявной
	Ti,k +1 − Ti,k		= a		Ti+1,k +1 − 2Ti,k +1 + Ti −1,k +1			.	(5.14)
		h
						h2
		τ				x

Отметим, что полученные аналоги имеют второй порядок точности по пространственной переменной и лишь первый – по времени.

168

Найдем соотношение между шагами сетки для уравнения теплопроводности, обеспечивающее одинаковую точность аппроксимации его левой и правой частей. Производные по времени и координате в уравнении теплопроводности (5.12) имеют различные ошибки аппроксимации соответственно первого и второго порядков точности относительно шагов сетки. Погрешность всего уравнения определяется максимальным значением этой ошибки. Возникает вопрос нахождения такого соотношения между шагами сетки hx и hτ , при котором ошибки аппроксимации левой и правой частей этого уравнения равны. Имея в виду тот факт, что ошибки аппроксимации должны удовлетворять уравнению теплопроводности, запишем:

	O (h ) = a O (h2 )									(5.15)
			τ					x
или с учетом (5.5), (5.9):
	∂ 2T		h	∂		4T		h2
			τ	= a				x	.	(5.16)
	∂τ 2	2				x4	12
				∂

Продифференцировав уравнение теплопроводности (5.12) по τ и дважды по x:

∂ 2T

= a

∂

3T

,

∂

4T

=

1∂

3T

,

(5.17)

∂τ 2

x∂τ2

∂

x4

x2

∂

∂τ∂a

и подставив полученные выражения в (5.16), получим искомую зависимость:

h = h2		(6a ) .	(5.18)
τ	x

Полученное условие показывает, что для обеспечения минимальной погрешности аппроксимации уравнения теплопроводности сгущение пространственной сетки в 2, 3, 4 раза должно вызывать соответствующее сгущение временной сетки в 4, 9, 16 раз.

169

Явная схема

Самая простая схема аппроксимации уравнения (5.12) заключается в замене его левой части односторонней разностью,

	имеющей первый порядок точности,							и записи правой части
						в		конечных	разностях на
						временном слое k, где из-
						вестно распределение па-
						раметра Т (рис. 5.2, по схе-
						ме		5.13),	из	которой
	Рис. 5.2. Сеточный шаблон					получаем явную				формулу
	явной схемы 1-го порядка точности					для температуры:
			2ahτ			ahτ	(Ti +1,k + Ti−1,k ) .
	Ti,k +1 = Ti,k 1	−			+					(5.19)
			2			2
			hx			hx

Вычисления по явной схеме первого порядка точности устойчивы, если коэффициент при Тi,k оказывается положительным:

	1 −	2ahτ	> 0 .	(5.20)
		h2
		x

Это накладывает ограничение на выбор шага сетки по времени

h <	h2
	x	.	(5.21)
τ	2a

Условие устойчивости явной схемы является достаточно жестким. Так, при Hx = 0,01 м, а = 1,5 10–5 м2/c (сталь), N = 20, hτ < 0,0083 c. Необходимость счета с мелким шагом по времени приводит к увеличению объема вычислений и является существенным недостатком, ограничивающим применение явной схемы первого порядка точности.

Неявная схема Лаасонена

От этого недостатка свободна неявная схема первого порядка точности (5.14) (схема Лаасонена, рис. 5.3), согласно которой правая часть уравнения (12) записывается на k + 1-м

170