caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

Энергия, которой обмениваются пластины, равна разности их эффективных потоков:

q = q	эфф1	− q	= σ	T14 − T24						.
12		эфф2			1	+		1	−1
					ε 1		ε 2

Введем обозначение приведенной степени черноты двух параллельных бесконечных пластин:

ε =			1				,	(3.121)
пр	1	+			1	−1
			ε
	ε 1				2
а также приведенного коэффициента излучения:
Спр = σ ε					пр ,			(3.122)

в результате получаем расчетные формулы для плотности потока излучения:

q	= C	(T 4	− T 4 )	(3.123)
12	пр	1	2
и с учетом площади пластин S для потока излучения
Ф = q S, [Вт].				(3.124)

Пример 4. Определить поток излучения в малом зазоре между слитком и изложницей с площадью зазора S = 1 м2. Температуры поверхности слитка Т1 = 1000 К, изложницы – Т2 = 800 К. Степеньчерноты материалов слиткаиизложницы ε1 = ε2 = 0,8.

Решение. Приведенная степень черноты по формуле

(3.121):

ε пр =			1			=			1			= 0, 67 ;
				1				1		1
	1	+			−1				+		−1
	ε 1		ε 2
								0,8	0,8

приведенный коэффициент излучения по формуле (3.122):

Спр = σ ε пр=	5, 67	−8	−8	2 4
		10 0, 67= 3,80 10		Вт/(м К ).

131

В результате поток излучения

Ф = Спр (T14 − T24 ) S = 3,80 10−8 (10004 − 8004 ) 1 = 22, 4 кВт.

При теплообмене излучением между телами, одно из которых заключено внутри другого, излучаемая энергия внутреннего тела полностью падает на внешнее тело, но излучение внешней поверхности лишь частично падает на внутреннее тело, при этом внешняя поверхность самооблучается

Рис. 3.36. Расчетная схема (рис. 3.36). Обозначим харак-

теристики внутреннего тела индексом 1, а внешнего – 2. Поверхности тел примем изотермичными Т1 > T2, площади тел не равны S1 < S2. Пространство между телами диатермично.

В результате теплообмена поток излучения между телами

Ф = σε	пр	(T 4 S− ϕ	T 4 S	2	) , [Вт]	(3.125)
		1 1	2−1 2

в котором приведенная степень черноты имеет вид:

ε пр =				1				.	(3.126)
1			S1
		+				1	−1
	ε 1		S2
					ε 2
В случае излучения маленькой трубки в большой комнате
(S1 << S2) отношение S1 S2 ≈		0 и ε пр = ε 1 т.е. приведенная сте-

пень черноты будет равна степени черноты самой трубки. Пример 5. Определить поток излучения трубки диаметром

d = 2 см и длиной l = 1м, нагретой до температуры 60 оС в большом помещении с температурой 20 оС. Степень черноты материала трубки ε = 0,2.

132

Решение. Приведенная степень черноты по формуле (22) ε пр = ε = 0, 2 . Поток излучения по формуле (3.125)

Ф = σε	пр	S	(T 4−	T 4	=)	σεπ dl (−T 4	T=4 )
		1	1	2		1	2
= 5,67 10−80, 2 3,14 0,02 1				(273		+ 60)4 − (273	+ 20)4	= 3,51 Вт.

3.15. Экранирование как способ защиты от теплового излучения

Экраном в теории теплообмена излучением называют тонкое непрозрачное для тепловых лучей тело с высокой отражательной способностью, предназначенное для защиты от тепло-

вого излучения.
Рассмотрим две				парал-
лельные	изотермические пла-
стины с температурами Т1 > T2,
разделенные экраном, темпе-
ратура которого Тэ (рис. 3.37).
Степени	черноты		материала
пластин	и	экрана	обозначим
соответственно ε1, ε2 и εэ.
Площади		пластин	и	экрана
равны S1 = S2 = Sэ = S.
Из уравнения (3.123) сле-
дует, что		экран	уменьшает		Рис. 3.37. Плоский экран

плотность теплового потока:

q	=	Cпр (Cпр1	+ Cпр2 )
1−2				,	(3.127)
q1−э−2
		Cпр1 Cпр2

где Спр, Спр1, Спр2 – приведённые коэффициенты излучения между двумя пластинами, первой пластиной и экраном и второй пластиной и экраном соответственно.

133

C

= σ ε

=

σ

, C = σ ε

=

σ

,

пр1

пр1

1

+

1

−1

пр2

пр2

1

+

1

−1

ε э

ε 1

ε 2 ε

э

Cпр = σ ε

пр=

σ

.

1

1

+

−1

ε 2 ε

1

В частном случае, когда степени черноты материала пластин и экрана равны ε1 = ε2 = εэ, будут равны и приведенные коэффициенты излучения Спр1 = Спр2 = Спр и отношение (3.127) становится равным двум, т.е. один экран уменьшает поток энергии излучения вдвое. Если между пластинами установить n одинаковых экранов при ε1 = ε2 = εэ, то поток энергии излучения уменьшится в (n + 1) раз.

Пример 6. Определить, во сколько раз уменьшается поток энергии излучения, если между серыми пластинами (ε1 = ε2 = ε = = 0,8) установлен экран с более высокой отражающей способно-

стью (εэ= 0,2).

Решение. Вычислим приведенные коэффициентыизлучения:

C

=

σ

=

σ

=σ

;

пр

1

1

2

1,5

+ε

−1

−

1

ε

0,8

C

= С

=

σ

=

σ

=

σ

.

пр1

пр2

1

+

1

−1

1

+

1

−1

5, 25

ε

ε э

0,8

0, 2

Из формулы (3.127)

q

=

Cпр (Cпр1 + Cпр2 )

=

σ

1,5(2σ

5, 25)

= 7,

1−2

q1−э−2

Cпр1

Cпр2

(σ 5, 25)2

т.е. один непрозрачный экран, отражающая способность которого (1– ε) в четыре раза больше отражающей способности пластин, уменьшает поток энергии излучения в 7 раз.

134

3.16. Сложный (радиационно-конвективный) теплообмен

При теплообмене между поверхностью тела и окружающей средой (рис. 3.38) разделение общего процесса переноса тепла на теплопроводность, конвекцию и тепловое излучение является условным. В действительности эти явления протека-

ют одновременно и влияют друг на друга:

конвекция сопрово-

ждаетсятепловым излучением,

а тепловое излучение –

конвек-

цией.

Плотности

теплового

по-

тока при конвективном тепло-

обмене между

поверхностью

тела с температурой Тп и ок-

ружающей средой с темпера-

турой Tc определяется уравне-

Рис. 3.38. Расчетная схема

нием теплоотдачи:

q = α (t −

t

с

) , [Вт/м2],

(3.128)

к

п

а при теплообмене излучением

q

= С

(T 4 − T 4 ) , [Вт/м2].

(3.129)

и

пр

п

с

Общая плотность

теплового потока

с учетом

того, что

(tп − tс ) = (Tп − Tс ):

q = qк + qи

= α (Tп− Tс )+

Спр (Tп4− Tс4 ) .

(3.130)

Расчет сложного теплообмена может проводиться по фор-

муле конвективного теплообмена (3.128):

q = qк + qи = α (Tп− Tс )+ Спр (Tп4− Tс4 )=

4

4

=

α +

С

Tп

− Tс

(T −

T )

к

пр

Tп

п

с

− Tс

135

или

q = (α	+ α	и	)(T−	T ) , α	= С	пр	(T 2−	T 2 )(T −	T ) , (3.131)
	к		п	с	и		п	с п	с
где α и –	коэффициент теплоотдачи, учитывающий излучение;

α к= α – коэффициент теплоотдачи конвекцией.

Пример 7. Определить коэффициент теплоотдачи излучением с поверхности металлической отливки в открытом пространстве при температуре Тп = 1000 оС, степень черноты отливки ε = 0,8, температура окружающей среды Тс = 20 оС.

Решение. По формуле (3.131) сучетом того, что Спр					= σε пр= σε ,
α = αε	(T+ T		) (T+ T=)
	2	2
и	п	с	п с
= 5,67 10−8 0,8	(1000 + 273)2 + (20 + 273)2				×
× (1000 + 273) + (20 + 273) =121 Вт				(м2 К).

3.17.Вопросы для самоконтроля

1.Что называется конвективным тепломассообменом?

2.Плотность теплового потока при конвективном тепломассообмене. Теплоотдача, уравнение теплоотдачи Ньютона – Рихмана, физический смысл и размерность коэффициента теплоотдачи.

3.Массоотдача, коэффициент диффузии, его смысл и размерность.

4.Дифференциальное уравнение неразрывности, уравнение несжимаемости, их физический смысл.

5.Дифференциальное уравнение переноса энергии, его физический смысл.

6.Коэффициент температуропроводности, его размерность

ифизический смысл.

7.Дифференциального уравнения движения вязкого теплоносителя, его физический смысл.

136

8.Коэффициенты динамической и кинематической вязкости, их размерность и физический смысл.

9.Дифференциальное уравнение теплоотдачи в пограничном слое.

10.Условия однозначности в задачах конвективного тепломассообмена, виды граничных условий для скорости.

11.Коэффициент поверхностного натяжения, его размерность и физический смысл. Условия возникновения конвекции Марангони.

12.Коэффициент объемного расширения теплоносителя. Приближение Буссинеска в задачах тепловой конвекции, его физический смысл.

13.Какие уравнения включает постановка краевой задачи тепловой конвекции в динамических переменных?

14.Завихренность, функция тока теплоносителя, их размерности, физический смысл. Дифференциальное уравнение переноса завихренности.

15.Дифференциальное уравнение теплопроводности, его физический смысл.

16.Как учитываются в уравнении теплопроводности неоднородные свойства?

17.Как учитываются в уравнении теплопроводности анизотропия свойств?

18.Как задаются граничные условия теплообмена первого, второго и третьего видов? Физический смысл коэффициента теплоотдачи.

19.Граничные условия контактного теплообмена (четвертого вида). Смысл и размерность теплового сопротивления контакта.

20.Теплопроводность плоского слоя, определение расхода

тепла.

21.Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности. Числа Био и Фурье, их физический смысл.

22.Особенности теплопроводности при фазовых и структурных переходах в металле.

137

23.Как определяется плотность теплового потока на границе фазового перехода?

24.Математическая формулировка задачи теплопроводности с подвижной границей фазового перехода.

25.Получите «закон квадратного корня» роста корки твердой фазы при затвердевании слитка.

26.Какова методика сквозного счета в задачах теплопроводности со структурными и фазовыми переходами?

27.Вид функции относительного содержания твердой фазы в задачах с фазовым переходом.

28.Способы вычисления эффективной и спектральной теплоемкостей.

29.Как приближенно учесть конвекцию жидкого ядра кристаллизующегося слитка в задачах теплопроводности?

30.Характеристики теплового излучения.

31.Радиационные характеристики тел. Чем характеризуются абсолютно белое, черное и прозрачное тела? Диффузное

изеркальное отражение, цветные тела.

32.Законы Планка, Вина, Стефана – Больцмана, Кирхгофа, Ламберта.

33.Определение эффективного излучения для прозрачных

инепрозрачных тел.

34.Расчет теплообмена излучением между бесконечными пластинами. Приведенная степень черноты.

35.Теплообмен излучением между телами, когда одно тело находится внутри другого.

36.Экранирование как способ защиты от теплового излу-

чения.

37.Что такое сложный (радиационно-конвективный) теплообмен?

38.Как определяется коэффициент теплоотдачи, учитывающий излучение?

138

4.Основы теории подобия

имоделирования в металлургии

4.1. Подобие физических явлений

Решение на основе математического моделирования затруднительно. Наиболее мощным средством решения реальных задач в металлургии, обобщения экспериментальных и расчетных данных является теория подобия и моделирования.

Теория подобия (учение о подобных явлениях) дает общий метод преобразования выражений, содержащих дифференциальные операторы, к алгебраическим уравнениям.

Суть метода в том, что реальный процесс заменяется условной схемой (моделью), в которой все дифференциальные операторы сохраняют постоянное значение в пространстве и во времени. Термин «подобие» заимствован из геометрии. Так, для подобных фигур (рис. 4.1)

Рис. 4.1. Геометрически подобные области для объекта (слева) и модели

l1′′		=	l2′′			=	l3′′		= Cl ,	(4.1)
l′			l	′			l′
1				2		3

где Сl – константа геометрического подобия, или коэффициент пересчета масштабов, зная который, можно получить любой размер в одной системе по сходственному размеру в другой. Следствием геометрического подобия является соответственное выражение для площадей (S) и объемов (V):

139

	S′′	= CS = Cl2 ;	V ′′	= CV = Cl3 .	(4.2)
	S′		V ′

На практике при геометрическом подобии используются не характеристики длин сторон многоугольника, а их координаты. Если ввести систему прямоугольных координат x, y, то при геометрическом подобии все координаты xi′, yi′ первого треугольника (объекта) пропорциональны соответствующим координатам xi′′, yi′′ второго треугольника (модели), т.е. выполняются соотношения:

x′′	= Cx ;	y′′	= Cy .	(4.3)
x′		y′

Этот пример иллюстрирует дальнейшее развитие понятия подобие – аффинное подобие, при котором допускается неравенство масштабов по отдельным координатным осям. В этом случае геометрические фигуры или пространственные объекты как бы деформируются: круг превращается в эллипс, параллелепипед с неравномерными ребрами – в куб и т.п. Переход к аффинному подобию возникает, например, при моделировании процессов в слоевых агрегатах, когда размер частицы слоя мал по сравнению с размерами аппарата.

Преобразующие функции (4.3), осуществляющие взаимо-

связь между координатами модели и объекта, могут быть и нелинейными.

Для реализации подобия физических явлений геометрического подобия недостаточно, необходимо соблюдение подобия и по другим характеристикам, определяющим эти явления: времени, скоростям, массам, силам, температурам, теплофизическим свойствам и т.д.

Приведем основные понятия подобных явлений.

Одноименными величинами называются такие, которые имеют одинаковые физический смысл и размерность (например, температура объекта и модели).

140